公務員備考：排列組合兩大原理

在排列組合問題中，我們經常使用加法原理和乘法原理，加法原理主要是針對分類法，而乘法原理則主要針對是分步法。
分類法即將完成任務的各種情況進行分類，每類都可以完成這項任務，每類之間是一種“或.....或.....”的關系，最后將每類的情況數進行簡單的相加即可。加法原理：完成一件事有k類方法，第一類方法中有m1種不同的方法，第二類方法中有m2種不同的方法，……第k類方法中有mk種不同的方法。那么完成這件事共有  m1＋m2＋…＋mk 種不同的方法。
【例1】從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，還可以乘輪船。一天中火車有4班，汽車有3班，輪船有2班。問：一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地，共有多少種不同走法？
【解析】從甲地到乙地，可以乘火車、汽車、輪船，每種交通方式都可以完成“從甲地到乙地”這項任務,所以我們應當使用分類法即加法原理，則總共應有4+3+2=9種走法。
而分步法則針對的是此任務需要若干個步驟，步驟之間是“先.....后......”的關系，必須依次按照步驟才能完成此項任務，其總的情況數就是將每一步的情況數進行簡單的相乘。
【例2】從甲地到乙地有3條路線，從乙到丙地4條路線，從丙地到丁地有2條路線，從甲地經過乙地、丙地到丁地不同走法共有多少？
【解析】從甲要到丁地必須依次經過乙、丙，要就是說要完成從甲到丁這件任務，有三個必不可少的步驟，第一步，需要從甲到乙，有3種方法；第二步，從乙到丙，有4種方法；第三步，從丙到丁，有2種方法。因此總的情況數就應該等于完成這項任務的各步情況數相乘即3×4×2=24種方法。
【例3】用彩旗表示信號，不同面數，不同顏色，排列順序不同，都表示不同的信號。如果一根旗桿上同時最多可以掛3面旗，現有足夠的紅色和黃色彩旗。可以表示多少種不同的信號？
【解析】要完成掛旗這項任務，我們可以掛一面旗、掛兩面旗、掛三面旗，每一個都可以完成這項任務。因此，可以分成上述三類，即第一類，一面旗；第二類，兩面旗；第三類，三面旗，然后再將每一類的情況數進行簡單的相加。接下來，我們得研究下每一類的情況數。
 第一類，一面旗。紅黃各一種。 
 第二類，兩面旗。現在有兩個位置依次為A B。這兩個位置需要一步一步來進行填，我們第一步先填A，有兩種（紅、黃），第二步，我們填B，依然有兩種（紅黃），則其有2×2=4種。
 第三類，三面旗。這時候有三個位置，依次為A B C。和兩面旗道理一樣，每一個位置都有兩種填法，則其有2×2×2=8種。
則總的情況數為三類之和即2+4+8=14種。
小結：用加法原理和乘法原理求“完成一件事的方法總數”時，一般按以下的思路分析“
1.完成一件什么事?
2.怎樣完成這件事？
   能直接完成的考慮怎樣分類，每類有幾種方法
分步驟完成的考慮怎樣分步驟，每步有幾種方法
3.確定用加法原理還是乘法原理解題，或者加法原理，乘法原理都使用？