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1. 相鄰問題—捆綁法
首先把相鄰元素當(dāng)做一個(gè)整體參與運(yùn)算,之后考慮相鄰元素間的排列順序。
【例題1】若有A、B、C、D、E五個(gè)人排隊(duì),要求A和B兩個(gè)人必須站在相鄰位置,則有多少排隊(duì)方法?
A.20 B.12 C.36 D.48
【答案】D。
【解析】題目要求A和B兩個(gè)人必須排在一起,首先將A和B兩個(gè)人“捆綁”,視其為“一個(gè)人”,也即對(duì)“AB”、C、D、E“四個(gè)人”進(jìn)行排列,有A(4,4)種排法。又因?yàn)槔壴谝黄鸬腁、B兩人也要排序,有2種排法。根據(jù)分步乘法原理,總的排法有A(4,4)×2=48種。故答案為D。
注意:運(yùn)用捆綁法解決排列組合問題時(shí),解題過程是“先捆綁,再排列”。
2. 不相鄰問題—插空法
先排其他元素,不相鄰元素放在已排元素的中間或兩端位置上。
【例題2】一張節(jié)目表上原有3個(gè)節(jié)目,如果保持這3個(gè)節(jié)目的相對(duì)順序不變,再添加進(jìn)去2個(gè)新節(jié)目,有多少種安排方法?
A.8 B.12 C.16 D.20
【答案】D。
【解析】可根據(jù)插空法解題,故可先用一個(gè)節(jié)目去插4個(gè)空位(原來的3個(gè)節(jié)目排好后,中間和兩端共有4個(gè)空位),有4種方法;再用另一個(gè)節(jié)目去插5個(gè)空位,有5種方法;由乘法原理得:所有不同的添加方法為 4×5=20種。故答案為D。
注意:運(yùn)用插空法解決排列組合問題時(shí),解題過程是“先排列,再插空”。
3. 錯(cuò)位重排
錯(cuò)位重排記住幾條結(jié)論,可以幫助我們快速解題,3個(gè)元素的錯(cuò)位重排方法數(shù)是2,4個(gè)元素錯(cuò)位重排方法數(shù)是9,5個(gè)元素錯(cuò)位重排方法數(shù)是44。
【例題3】四位廚師聚餐時(shí)各做了一道拿手菜,現(xiàn)在要求每個(gè)人去品嘗一道菜,但不能嘗自己做的那道菜,問共有幾種不同的嘗法?
A.6種 B.9種 C.12種 D.15種
【答案】B。
【解析】因?yàn)槊课粡N師不能品嘗自己做的菜,其實(shí)就是說每個(gè)標(biāo)簽不能貼正確,從而試題可以翻譯為4個(gè)標(biāo)簽貼在4個(gè)瓶子上,均貼錯(cuò)的方法有9種。故本題的正確答案為B選項(xiàng)。
【例題4】五個(gè)瓶子都貼有標(biāo)簽,其中恰好貼錯(cuò)了三個(gè),則貼錯(cuò)的可能情況有多少種?
A.60 B.46 C.40 D.20
【答案】D。
【解析】由于恰好有3個(gè)貼錯(cuò)了標(biāo)簽,則必然有兩個(gè)是正確的,第一步,先抽取兩個(gè)貼對(duì)標(biāo)簽的,共有C(5,2)=10種;第二步,對(duì)剩余的3個(gè)錯(cuò)位重排,則有2種,根據(jù)乘法原理,貼錯(cuò)的情況共有10×2=20種,故本題的正確答案為D選項(xiàng)。
注意:分清楚究竟是幾個(gè)元素的錯(cuò)位重排。
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