聽說“9”和“44”與錯位排列更配哦-全錯位排列問題

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親，如果我說記住兩個數(shù)字就能搞定數(shù)量關(guān)系中的一類難題，你信嗎?

先不用忙著回答!

或許你將信將疑，但等你看完此文，你一定能找到足夠的理由讓自己相信。

一、問題導入

【引例1】唐僧、孫悟空、豬八戒、沙和尚4人在某公司不同崗位任職，現(xiàn)在需要調(diào)換崗位，要求每個人都不能在自己原來的崗位，則共有 種不同的安排方法。

【引例2】有4名同學各寫了一張賀卡，先全部收集起來，然后每人從中拿出一張賀卡，要求每個人都不拿自己的賀卡，則四張賀卡的不同分配方式共有 種。

【引例3】將編號為1，2，3，4的四個小球分別放入編號為1，2，3，4的四個盒子中，要求每個盒子放一個小球，且小球的編號與盒子的編號不能相同(即1不放1，2不放2，3不放3，4不放4，也就是說4個全部放錯)，則共有 種不同的放法。

不難發(fā)現(xiàn)，以上三個引例都是同一類問題，答案是多少呢?下面用枚舉法給大家答案：

假設(shè)原來順序：A、B、C、D

枚舉的時候注意按照一定規(guī)律進行，如果看成1、2、3、4號位置，那么第一步A可以放2、3、4號位置中的任意一個，第二步把B的位置確定，第三步確定C和D的位置：

第1種錯位排列：B、A、D、C(A在2位，B在1位，C、D位置就唯一確定了);

第2種錯位排列：D、A、B、C(A在2位，B在3位，C、D位置就唯一確定了);

第3種錯位排列：C、A、D、B(A在2位，B在4位，C、D位置就唯一確定了);

第4種錯位排列：B、D、A、C(A在3位，B在1位，C、D位置就唯一確定了);

第5種錯位排列：C、D、A、B(A在3位，B在4位，C、D位置可以是1、2);

第6種錯位排列：D、C、A、B(A在3位，B在4位，C、D位置也可以是2、1);

第7種錯位排列：B、C、D、A(A在4位，B在1位，C、D位置就唯一確定了);

第8種錯位排列：C、D、B、A(A在4位，B在3位，C、D位置可以是1、2);

第9種錯位排列：D、C、B、A(A在4位，B在3位，C、D位置也可以是2、1)。

可見，4個元素的錯位排列一共有9種。即以上三道引例的答案都是9種。

那么，問題來了：圖圖老濕，我不想一個一個的枚舉，眼睛都看花了，腫么辦?而且如果下次不是4個元素了呢?答案又腫么辦?

請耐心看下文。提前聲明一下：接下來這一段需要一定的數(shù)學知識，如果覺得自己數(shù)學還不錯的話可以詳細逐字閱讀;如果說NO，也沒關(guān)系嗒，只需你記住最后結(jié)論即可哦!

二、理論推導

其實，上面引例涉及的三個問題的本質(zhì)都是每個元素都不在自己編號的位置上的排列問題，我們把帶這種限制條件的排列問題叫做全錯位排列問題。

它是一個非常古老的數(shù)學問題，貝努利、歐拉等數(shù)學家都曾經(jīng)研究過。這類問題雖然有難度，但我們解題是有快速破解的“竅門”的。下面讓圖圖老濕為大家詳細解讀：

我們將n個元素的全錯位排列數(shù)記做Dn。

由于1個元素沒有錯位排列，因此D1=0。

2個元素時可以相互交換一下位置，即有1種錯位排列，則D2=1。

當n≥3時，在n個不同元素中任取一個元素ai不排在與其編號相對應(yīng)的i位，必排在剩下n-1個位置之一，所以ai有n-1種排法。

即第一步排ai，有n-1種。

第二步：排ai所占位置對應(yīng)的元素。

對ai每一種排法，如ai排在j位，對應(yīng)j位的元素aj的排位共有兩類情況：

第一類情況：aj恰好排在i位上，此時，ai排在j位，aj排在i位，元素ai、aj排位已定，還剩n-2個元素，它們的排位問題就轉(zhuǎn)化為n-2個元素全錯位排列數(shù)，應(yīng)有Dn-2種;

第二類情況：aj不排在i位上，此時，ai仍排在j位，aj不排在i位，相當于aj也有一個不能排的位置，也就是說，除了ai外，其他n-1個元素，每個元素均有一個不能排的位置，那么問題就可轉(zhuǎn)化為n-1個元素的全錯位排列問題，排列數(shù)為Dn-1。

即第二步排aj有(Dn-1+Dn-2)種。

根據(jù)乘法原理，兩步相乘可得：Dn=(n-1)(Dn-1+Dn-2)(n≥3)。

也就是說我們得到了全錯位排列數(shù)的一個遞推公式，對于這個公式，只有我們知道第1項D1和第2項D2的值，就可以推出后面所以項的值。

例如：D1=0，D2=1，D3=2(D2+D1)=2(1+0)=2種，D4=3(D3+D2)=3(2+1)=9種，D5=4(D4+D3)=4(9+2)=44種，D6=5(D5+D4)=5(44+9)=265種……

記住結(jié)論：

D1=0，D2=1，D3=2，D4=9，D5=44，D6=265……Dn=(n-1)(Dn-1+Dn-2)(n≥3)。

記不住，腫么辦?請看圖圖老濕的。

三、圖圖速記

1個元素時沒有錯位排列，D1=0;

2個元素錯位排列有1種，D2=1，速記：D2=2D1+1;

3個元素錯位排列有2種，D3=2，速記：D3=3D2-1;

4個元素錯位排列有9種，D4=9，速記：D4=4D3+1;

5個元素錯位排列有44種，D5=44，速記：D5=5D4-1;

6個元素錯位排列有265種，D6=265，速記：D6=6D5+1;

……

n個元素錯位排列有Dn種，速記：Dn=nDn-1+。

如果還是記不住，腫么辦?

告訴大家一個特好消息，公務(wù)員考試中考得最多的是4個元素和5個元素的情況，所以大家只要記住兩個重要數(shù)字“9”和“44”即可大功告成!是不是突然感覺很爽啊?

下面跟著圖圖老濕通過幾道考試真題來實戰(zhàn)秒殺一把：

四、考場秒殺

【例1】(2014北京)相鄰的4個車位中停放了4輛不同的車，現(xiàn)將所有車開出后再重新停入這4個車位，要求所有車都不得停在原來的車位中，則一共有多少種不同的停放方式?( )

A. 9 B. 12

C. 14 D. 16

【答案】A

【解析】全錯位排列問題。記住數(shù)字：D4=9，D5=44，……，Dn=nDn-1+，所以，4輛車一共有D4=9種停放方式。因此，本題答案選擇A選項。

【例2】(2011浙江)四位廚師聚餐時各做了一道拿手菜。現(xiàn)在要求每個人去品嘗一道菜，但不能嘗自己做的那道菜。問共有幾種不同的嘗法?( )

A. 6種 B. 9種

C. 12種 D. 15種

【答案】B

【解析】全錯位排列問題。記住數(shù)字：D4=9，D5=44，……，Dn=nDn-1+�？芍�，4個元素對應(yīng)的全錯位排列數(shù)為D4=9。因此，本題答案選擇B選項。

【例3】(2015四川瀘州事業(yè)單位)a、b、c、d四臺電腦擺放一排，從左往右數(shù)，如果a不擺在第一個位置上，b不擺在第二個位置上，c不擺在第三個位置上，d不擺在第四個位置上，那么不同的擺法共有( )種。

A. 9 B. 10

C. 11 D. 12

【答案】A

【解析】全錯位排列問題。記住數(shù)字：D4=9，D5=44，……，Dn=nDn-1+�？芍�，4個元素對應(yīng)的全錯位排列數(shù)為D4=9。因此，本題答案選擇A選項。

【例4】(2015山東)某單位從下屬的5個科室各抽調(diào)了一名工作人員，交流到其他科室。若每個科室只能接收一個人的話，有多少種不同的人員安排方式?( )

A. 120 B. 78

C. 44 D. 24

【答案】C

【解析】全錯位排列問題。記住數(shù)字：D4=9，D5=44，……，Dn=nDn-1+�？芍�，5個元素對應(yīng)的全錯位排列數(shù)為D5=44。因此，本題答案選擇C選項。

綜上可見，對于全錯位排列問題，數(shù)字“9”和“44”與之更配哦!大家務(wù)必記住!

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