2019-11-04 11:34:27 公務(wù)員考試網(wǎng) 文章來(lái)源:遼寧分校
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容斥問(wèn)題是公考中較為常見的一類題型,小伙伴們?cè)倬毩?xí)的時(shí)候也樂(lè)于做這類題型,常常感覺這類題型的難度低,方法固定,比較容易求解。但在2019年國(guó)考時(shí),不少同學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)原本簡(jiǎn)單的容斥問(wèn)題變難了,因?yàn)橹拔覀儗W(xué)過(guò)的容斥問(wèn)題往往直接列方程求解即可,但是2019年的國(guó)考題在設(shè)問(wèn)中出現(xiàn)了“至少”兩個(gè)字,同學(xué)們便無(wú)從下手了。
那么當(dāng)容斥問(wèn)題的設(shè)問(wèn)中出現(xiàn)了“至多”、“至少”等最值問(wèn)法時(shí),我們應(yīng)該如何解題呢?我們常用的解法一般是設(shè)未知數(shù)列出不定方程,然后通過(guò)分析如何取最值的方法來(lái)求解。我們不妨通過(guò)幾道例題來(lái)總結(jié)一下這類題型的規(guī)律,希望對(duì)大家有所幫助。
【例1】(2018遼寧省公檢法)某班在籌備聯(lián)歡會(huì)時(shí)發(fā)現(xiàn)很多同學(xué)都會(huì)唱歌和樂(lè)器演奏,但有部分同學(xué)這2種才藝都不會(huì)。具體有4種情況:只會(huì)唱歌,只會(huì)樂(lè)器演奏,唱歌和樂(lè)器演奏都會(huì),唱歌和樂(lè)器演奏都不會(huì),F(xiàn)知會(huì)唱歌的有22人,會(huì)樂(lè)器演奏的有15人,兩種都會(huì)的人數(shù)是兩種都不會(huì)的5倍。這個(gè)班至多有( )人。
A. 27
B. 30
C. 33
D. 36
【思路點(diǎn)撥】分析題干我們可以發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)兩集合容斥問(wèn)題,設(shè)問(wèn)中出現(xiàn)了“至多”這種最值問(wèn)法。
那么我們可以設(shè)該班共有x人,唱歌和樂(lè)器演奏都不會(huì)的有y人,則兩種都會(huì)的有5y人,根據(jù)二集合容斥公式可列出不定方程:x-y=22+15-5y,化簡(jiǎn)得:x=37-4y。
要想x取值最大,則y應(yīng)最小,因?yàn)轭}干中提到有部分同學(xué)這2種才藝都不會(huì),所以y最小取1而不能取0;當(dāng)取y=1時(shí),x=33,故這個(gè)班至多有33人。因此,選擇C選項(xiàng)。
【例2】(2019國(guó)考)有100名員工去年和今年均參加考核,考核結(jié)果分為優(yōu)、良、中、差四個(gè)等次。今年考核結(jié)果為優(yōu)的人數(shù)是去年的1.2倍。今年考核結(jié)果為良及以下的人員占比比去年低15個(gè)百分點(diǎn)。問(wèn)兩年考核結(jié)果均為優(yōu)的人數(shù)至少為多少人?
A. 55
B. 65
C. 75
D. 85
【思路點(diǎn)撥】本題是一個(gè)2集合的容斥問(wèn)題,今年考核結(jié)果為優(yōu)的人可以看做一個(gè)集合,去年考核為優(yōu)的人看做另一個(gè)集合,設(shè)問(wèn)中也出現(xiàn)了“至少”這種最值問(wèn)法。
今年考核人數(shù)為良及以下的占比降低了15個(gè)百分點(diǎn),則考核結(jié)果為優(yōu)的提高了15個(gè)百分點(diǎn),兩年的總?cè)藬?shù)均為100,即今年考核結(jié)果為優(yōu)的增加了100×15%=15(人)。設(shè)去年考核為優(yōu)的人數(shù)為n,則列方程1.2n-n =15,解得去年人數(shù)n=75,今年人數(shù)是1.2×75=90(人)
設(shè)兩年考核結(jié)果均為優(yōu)的人數(shù)為x,兩年考核結(jié)果均不為優(yōu)的人數(shù)為y,根據(jù)兩集合的容斥原理公式可列等式:100-y=75+90-x;移項(xiàng)后可得x=65+y;根據(jù)等式可以分析出當(dāng)y最小時(shí)x最小,y最小可以取0,此時(shí)x=65。因此,選擇B選項(xiàng)。
【例3】(2015遼寧省考)有135人參加某單位的招聘,31人有英語(yǔ)證書和普通話證書,37人有英語(yǔ)證書和計(jì)算機(jī)證書,16人有普通話證書和計(jì)算機(jī)證書,其中一部分人有三種證書,而一部分人則只有一種證書。該單位要求必須至少有兩種上述證書的應(yīng)聘者才有資格參加面試。問(wèn)至少有多少人不能參加面試?
A. 51
B. 50
C. 53
D. 52
【思路點(diǎn)撥】本題是一個(gè)三集合容斥問(wèn)題,設(shè)問(wèn)中出現(xiàn)了“至少”這種最值問(wèn)法。
設(shè)持有三種證書的人數(shù)為z,不能參加面試的人數(shù)為y,根據(jù)“總?cè)藬?shù)-不能參加面試人數(shù)=有資格參加面試人數(shù)”可列出不定方程:135-y=31+37+16-2z;整理后可得:y=51+2z;想要讓y盡量的小,那么需要z取最小值,根據(jù)“其中一部分人有三種證書”可知z最小值為1,因此當(dāng)z=1時(shí)y最小,此時(shí)y=51+2=53(人)。因此,選擇C選項(xiàng)。
【例4】(2013遼寧省考)有100人參加運(yùn)動(dòng)會(huì)的三個(gè)項(xiàng)目,每人至少參加一項(xiàng),其中未參加跳遠(yuǎn)的有50人,未參加跳高的有60人,未參加跑賽的有70人,問(wèn)至少有多少人參加了不止一項(xiàng)活動(dòng)?
A.7
B.10
C.15
D.20
【思路點(diǎn)撥】本題是一個(gè)三集合容斥問(wèn)題,設(shè)問(wèn)中出現(xiàn)了“至少”這種最值問(wèn)法。
分析題干我們可以知道參加了跳遠(yuǎn)、跳高、跑賽的人數(shù)分別為50、40、30。共有50+40+30=120(人次)參加了這次活動(dòng)。假設(shè)參加了一項(xiàng)、兩項(xiàng)、三項(xiàng)活動(dòng)的分別有x人,y人、z人。則可以列出不定方程組:
由于我們要求的是y+z,因此消去x可得:y+2z=20;移項(xiàng)可得y+z=20-z;想要y+z最小,需要z最大;通過(guò)y+2z=20我們可以分析出z最大可以取10,此時(shí)y+z=10最大。因此,本題選擇B選項(xiàng)。
通過(guò)這幾道容斥問(wèn)題的解析我們大致了解了這類題的解題方法,即通過(guò)設(shè)未知數(shù)的方法列出不定方程,然后根據(jù)未知數(shù)取最值的情況進(jìn)行分析,得出想要的答案。
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