數(shù)學(xué)運(yùn)算題里的排列組合之平均分組，你懂嗎？

排列組合在國(guó)考當(dāng)中是必考的題型之一，而且考察類型多樣，題目難度的跨度大，對(duì)于很多同學(xué)來(lái)說(shuō)是比較難的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)。學(xué)習(xí)排列組合，最重要的是要掌握一些常見(jiàn)的排列組合“模型”。除了考察較多的“捆綁法”“插空法”之外，“平均分組”也是其中的一種重要模型。雖然“平均分組”在國(guó)考中屬于出現(xiàn)頻率低的知識(shí)點(diǎn)，但是，今年國(guó)考還是希望大家引起關(guān)注。那么今天我們一起來(lái)學(xué)習(xí)“平均分組”的問(wèn)題：

平均分組就是要把N個(gè)不同的要素平均分成M個(gè)組。每個(gè)組沒(méi)有屬性，等同于分成了M份，一般采用分步原理。例如，第一步需要從個(gè)元素當(dāng)中取出個(gè)元素，第二步再?gòu)氖Ｏ碌脑�素�?dāng)中取出個(gè)元素，直到取完為止，最后要去掉重復(fù)的。這當(dāng)中最關(guān)鍵的就是要理解清楚最后平均分組為什么要去重，怎么去重。

例，現(xiàn)有4個(gè)不同的人，編號(hào)分別為1、2、3、4。如果要把這4個(gè)人平均分成兩組，那么有多少種不同的分組方式?

分步計(jì)算則有：第一步從4個(gè)人隨機(jī)選2個(gè)人人出來(lái)有=6種，第二步再?gòu)氖Ｓ嗟?個(gè)人當(dāng)中選2個(gè)有=1種，共有=6種方式.我們可以具體枚舉一下:

可以從表中看到如果只是分兩步平均分成兩組的話共有6種情況，但是觀察表中可以發(fā)現(xiàn)①和④這兩種平均分組方式其實(shí)是一樣的,都是1和2一組,3和4一組。同理②和⑤,③和⑥也是一樣的分組方式.所以實(shí)際的分組情況只有3種，即需要在的基礎(chǔ)上除以2，即重復(fù)次，共有=3種方式。

同樣，若把6個(gè)人平均分成三組，大家可以考慮一下又有多少種不同的分組方式呢?

6人平均分三組，相當(dāng)于每組有2人。分步計(jì)算則有：第一步從6個(gè)人隨機(jī)選2個(gè)人人出來(lái)有=15種，第二步再?gòu)氖Ｓ嗟?個(gè)人當(dāng)中選2個(gè)有=6種，第三步再?gòu)氖Ｓ嗟?個(gè)人當(dāng)中選2個(gè)有=1種，則共有=90種，同樣這當(dāng)中也存在重復(fù)計(jì)算的情況：這6個(gè)人編號(hào)分別為1、2、3、4、5、6。我們以其中一種(1,2)(3，4)(5，6)為例:，如下表：

通過(guò)表格可以發(fā)現(xiàn)表中6種分組情況其實(shí)都是同一種分法，都是以1和2一組，3和4一組，5和6一組平均分的三組。所以重復(fù)計(jì)算了6次，即重復(fù)次。同理，其他的分法也會(huì)存在同樣的重復(fù)。所以不能只是按照來(lái)分組。6個(gè)人平均分成三組，實(shí)際應(yīng)有=15種不同的分組方式。

所以，在平均分組的題目中，把N個(gè)不同的要素平均分成M個(gè)組，則會(huì)重復(fù)計(jì)算次。

以上是所有要素完全平均分組，在平均分組的題目當(dāng)中總也要注意部分平均的情況。

例，若把6個(gè)人分成1,1,4三組，有多少種不同的分組方式?

大家可以看到分成的三組當(dāng)有只有其中兩個(gè)組各有一個(gè)人，人數(shù)相同。所以雖然分三組，但是實(shí)際只有兩個(gè)組被平均分組，所以分步計(jì)算則有：第一步從6個(gè)人隨機(jī)選1個(gè)人人出來(lái)有=6種，第二步再?gòu)氖Ｓ嗟?個(gè)人當(dāng)中選1個(gè)有=5種，第三步再?gòu)氖Ｓ嗟?個(gè)人當(dāng)中選4個(gè)有=1種，有兩個(gè)組平均分組，所以最后一步去重只需要除以即可,而不是除以。則共有=15種。所以，在分組中，無(wú)論分成幾組，主要還是看分的幾個(gè)組當(dāng)中有幾個(gè)組被平均分。

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