數(shù)量關(guān)系知識點(diǎn)之容斥問題公式梳理

對于數(shù)量關(guān)系的備考，考生們不應(yīng)該糾結(jié)于一些難題，在備考復(fù)習(xí)數(shù)量關(guān)系的過程中，仍然存在著很多一學(xué)就會的模塊，考生們可以重點(diǎn)復(fù)習(xí)這一類的題目，掌握解題技巧，在考場上拿到數(shù)量關(guān)系的分?jǐn)?shù)。

今天要給考生們梳理的是在國聯(lián)考中常見的一種題型——容斥問題，容斥問題是一種計(jì)數(shù)的數(shù)學(xué)問題，在計(jì)數(shù)時(shí)，一部分的數(shù)據(jù)會被重復(fù)計(jì)數(shù)，計(jì)數(shù)時(shí)必須注意沒有重復(fù)，沒有遺漏，為了使重疊部分不被重復(fù)計(jì)算，人們研究出一種新的計(jì)數(shù)方法，這種方法被稱為充斥原理，容斥原理的基本思想是：先不考慮重復(fù)的數(shù)據(jù)，把包含于某內(nèi)容中的所有對象的數(shù)目先計(jì)算出來，然后再把計(jì)數(shù)時(shí)重復(fù)計(jì)算的數(shù)目排斥出去，使得計(jì)算的結(jié)果既無遺漏又無重復(fù)。容斥問題有兩種解題方法：1、畫圖法;2、公式法。畫圖法可以解決所有的容斥問題，公式法可以解決一部分基礎(chǔ)的容斥問題，考生們在備考的過程中，不要一味的追求難題，可以把公式熟記，掌握基礎(chǔ)的容斥問題，下面就帶大家來梳理一下常用的容斥問題的公式。

一、二集合容斥問題

通過圖形可得二集合公式：

總數(shù)=滿足條件A+滿足條件B-條件A、B都滿足+條件A、B都不滿足

【例題1】市電視臺向150位觀眾調(diào)查前一天晚上甲、乙兩個(gè)頻道的收視情況，其中108人看過甲頻道，36人看過乙頻道，23人即看過甲頻道又看過乙頻道，則接受調(diào)查觀眾中在前一天晚上兩個(gè)頻道均未看過的人數(shù)是：

A. 17 B. 22

C. 29 D. 38

【解析】本題考查容斥問題中的二集合容斥問題，題干中明確已知滿足條件A，滿足條件B，條件A、B都滿足的數(shù)據(jù)，直接采用公式法，將已知條件帶入到公式中即可解題。

設(shè)受調(diào)查觀眾在前一天晚上兩個(gè)頻道均未看過的人數(shù)為x，根據(jù)二集合容斥公式可列方程：150=108+36-23+x，解得x=29，因此，本題選擇C選項(xiàng)。

二、三集合容斥問題

通過圖形可得三集合公式(標(biāo)準(zhǔn)型)：

總數(shù)=滿足條件A+滿足條件B+滿足條件C-滿足條件AB-滿足條件AC-滿足條件BC+條件ABC都滿足+條件ABC都不滿足

【例題2】有關(guān)部門對120種抽樣食品進(jìn)行化驗(yàn)分析，結(jié)果顯示，抗氧化劑達(dá)標(biāo)的有68種，防腐劑達(dá)標(biāo)的有77種，漂白劑達(dá)標(biāo)的有59種，抗氧化劑和防腐劑都達(dá)標(biāo)的有54種，防腐劑和漂白劑都達(dá)標(biāo)的有43種，抗氧化劑和漂白劑都達(dá)標(biāo)的有35種，三種食品添加劑都達(dá)標(biāo)的有30種，那么三種食品添加劑都不達(dá)標(biāo)的有多少種?

A. 14 B. 15

C. 16 D. 17

E. 18 F. 19

G. 20 H. 21

【解析】本題考查容斥問題中的三集合容斥問題，可直接采用三集合容斥公式解題。

設(shè)三種食品添加劑都不達(dá)標(biāo)的有x種，帶入三集合容斥公式，列出方程：120=68+77+59-54-43-35+30+x，解得x=18，因此，本題選擇E選項(xiàng)。

在三集合中除了上述的標(biāo)準(zhǔn)公式外，還有兩個(gè)其他公式：

1總數(shù)=滿足條件A+滿足條件B+滿足條件C-滿足兩個(gè)條件-2×三個(gè)條件都滿足+三個(gè)條件都不滿足

2總數(shù)=滿足一個(gè)條件+滿足兩個(gè)條件+三個(gè)條件都滿足+三個(gè)條件都不滿足

對于容斥問題，考生們在備考時(shí)重點(diǎn)要掌握公式的使用，在考場上優(yōu)先考慮可以直接使用公式的容斥問題，最后，再用一張思維導(dǎo)圖來總結(jié)一下容斥問題的公式。

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