2022國(guó)考數(shù)列構(gòu)造最值問題的解題思路

最值問題是數(shù)量關(guān)系中非常重要的一種題型，考察頻率很高。今天華圖教育與大家探討一下最值問題中常見的構(gòu)造數(shù)列類題型的解題方法。

構(gòu)造數(shù)列類最值問題是最值問題中難度較高的一種題型。主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面，一是在梳理解題思路中，對(duì)各個(gè)名次的要求需要分析清楚，是應(yīng)該盡可能高還是應(yīng)該盡可能低;二是部分構(gòu)造數(shù)列類最值問題計(jì)算難度較高，那么在計(jì)算時(shí)我們就應(yīng)該盡量結(jié)合一些計(jì)算技巧，例如尾數(shù)法或者相關(guān)公式，以提高計(jì)算速度。下面通過幾道例子詳細(xì)梳理一下構(gòu)造類最值問題解題方法的三個(gè)步驟如何應(yīng)用。

構(gòu)造類最值問題解題方法的三個(gè)步驟如何應(yīng)用

題型特征：最多(少)的…至多(少)…;排名第N的至多(少)……

解題方法：1.排序定位(求誰(shuí)設(shè)誰(shuí));2.構(gòu)造數(shù)列(反向推其他);3.加和求解。

例1. 【2014國(guó)考】某連鎖企業(yè)在10個(gè)城市共有100家專賣店，每個(gè)城市的專賣店數(shù)量都不同。如果專賣店數(shù)量排名第5多的城市有12家專賣店，那么專賣店數(shù)量排名最后的城市，最多有幾家專賣店：

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

【解題思路】設(shè)專賣店數(shù)量排名最后的城市有x家專賣店。要求專賣店數(shù)量排名最后的城市專賣店的數(shù)量最多,則令其他城市專賣店數(shù)量最少。題目中已知排名第 5 多城市有 12家專賣店，且每個(gè)城市專賣店數(shù)量不同,則可得下表:

根據(jù)該企業(yè)共有100家專賣店的條件，則有16+15+14+13+12+x+4+x+3+x+2+x+1+x=100，解得x=4，正確答案為C。

【點(diǎn)評(píng)】本題在解題過程中“構(gòu)造數(shù)列”時(shí)，需要注意題干已經(jīng)給定第五名的城市有12家專賣店，不能忽略掉這一條件，若將第五名構(gòu)造成“x+5”進(jìn)行后續(xù)計(jì)算，結(jié)果會(huì)出現(xiàn)偏差。提醒大家，在構(gòu)造數(shù)列的過程中，一定要注意題干是否有特定條件。

例2. 【2018國(guó)考】某新能源汽車企業(yè)計(jì)劃在A、B、C、D四個(gè)城市建設(shè)72個(gè)充電站，其中在B市建設(shè)的充電站數(shù)量占總數(shù)的，在C市建設(shè)的充電站數(shù)量比A市多6個(gè)，在D市建設(shè)的充電站數(shù)量少于其他任一城市。問至少要在C市建設(shè)多少個(gè)充電站?

A. 20

B. 18

C. 22

D. 21

【解題思路】因?yàn)锽市建設(shè)充電站的數(shù)量占總數(shù)的，C市又比A市多6個(gè)，D市最少，所以四個(gè)城市充電站個(gè)數(shù)關(guān)系為：B、C兩市建設(shè)充電站的數(shù)量較多，A市第三多，D市最少。要使C市建設(shè)的充電站盡量少，就要讓其他市建設(shè)的充電站盡量多。其中，，D盡量多且比A少，所以D最多為。此時(shí)充電站總個(gè)數(shù)，解得，問至少，應(yīng)向上取整，所以C至少建設(shè)21個(gè)充電站。

【點(diǎn)評(píng)】在部分構(gòu)造類最值問題中，解出的答案并非為整數(shù)，此時(shí)切不可盲目的進(jìn)行四舍五入，而要根據(jù)題目要求進(jìn)行取舍，提醒大家可以根據(jù)口訣進(jìn)行記憶：“問最多向下取整，問最少向上取整”。例如，我們解出來至多是14.5，那么就不能超過14，此時(shí)向下取整，14才是符合要求的答案。

例3.【2010國(guó)家】某機(jī)關(guān)20人參加百分制的普法考試，及格線為60分，20人的平均成績(jī)?yōu)?8分，及格率為95%。所有人得分均為整數(shù)，且彼此得分不同。問成績(jī)排名第十的人最低考了多少分：

A. 88

B. 89

C. 90

D. 91

【解題思路】

如表所示，設(shè)排名第十的人考了x分，要想讓x盡可能低，其他應(yīng)盡可能高。因每人得分不同，則1-9名最高可為100-92分。同時(shí)，不及格人數(shù)=20×5%=1人，不及格的人最高只能為59分。11-19名也應(yīng)盡可能高，設(shè)分別比第十名低了1-9分。前9名與倒數(shù)第1名的的總分?jǐn)?shù)=96×9+59=923，則第10-19名的總分?jǐn)?shù)=88×20-923=837。即x+(x-1)+…+(x-9)=837，10x-45=837，解得x=88.2分。問最少向上取整，至少為89分，B項(xiàng)滿足。

【點(diǎn)評(píng)】此題有兩個(gè)特點(diǎn)，第一涉及的名次較多，共有20人，如果20個(gè)名次全部構(gòu)造出來則過于浪費(fèi)時(shí)間，故在解題過程中，分?jǐn)?shù)相連的名次可以列為一格。第二計(jì)算量較大，涉及到等差數(shù)列的求和以及多位數(shù)的加減法。建議考生們?cè)诮忸}過程中一定要掌握相應(yīng)的計(jì)算技巧，在此我們利用等差數(shù)列的中位數(shù)進(jìn)行求和便會(huì)大大提高我們的計(jì)算速度。

例4.【2013國(guó)考】某單位2011年招聘了65名畢業(yè)生，擬分配到該單位的7個(gè)不同部門，假設(shè)行政部門分得的畢業(yè)生人數(shù)比其他部門都多，問行政部門分得的畢業(yè)生人數(shù)至少為多少名：

A.10

B.11

C.12

D.13

【解題思路】要使行政部門少，則其他部門應(yīng)盡量多，設(shè)行政部門分得x名，其他部門均分得(x-1)名，可列式為x+6(x-1)=65，解得x≈10.1,問最少向上取整，行政部門至少分得11名，正確答案為B。

【點(diǎn)評(píng)】在本題中，為什么其他部門分得人數(shù)都可以設(shè)為(x-1)呢?因?yàn)轭}目中沒有說明“各個(gè)部門人數(shù)均不相同”。所以提醒大家記住，如果題干沒說均不相等，則可默認(rèn)相等。

以上就是對(duì)于數(shù)列構(gòu)造最值問題的詳細(xì)講解。本類題型有一定難度但套路性較強(qiáng)，需要去構(gòu)造名次及計(jì)算復(fù)雜方程。在構(gòu)造名次時(shí)，若涉及的名次較少，可以不需畫出表格，而較為復(fù)雜的推薦畫出表格，如此解題會(huì)更加清晰。提醒大家記住萬(wàn)變不離其宗，只要知識(shí)點(diǎn)掌握牢固、能夠融會(huì)貫通，無論如何創(chuàng)新如何結(jié)合，我們都可以熟練解決，當(dāng)然這還需要建立在大量練習(xí)的基礎(chǔ)上。

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