精選備考題-數(shù)量關(guān)系知識(shí)點(diǎn)之插空法vs插板法

2021年山西省公務(wù)員考試行測(cè)筆試中，數(shù)量模塊題目增加到了十五道題，其中排列組合類題目一直是數(shù)量模塊的高頻考點(diǎn)，近年來(lái)，基本每年都會(huì)出現(xiàn)一道或者兩道題，而排列組合模塊又因其題目難度大而令許多考生望而生畏。但雖然排列組合模塊難，技巧性卻很強(qiáng)，接下來(lái)小編將給各位考生介紹在排列組合解題中使用比較頻繁的兩種方法，即插空法和隔板法。

一、插空法

所謂插空法就是題目當(dāng)中要求某幾個(gè)元素“不相鄰”、“不相連”或“不在一起”時(shí)，可以優(yōu)先安排其他元素，再將要求不相鄰的元素插入已經(jīng)安排好的元素的間隙或者兩端即可。下面小編以兩道題目為例，進(jìn)一步說(shuō)明如何使用插空法。

【例題1】把12棵同樣的松樹(shù)和6棵同樣的柏樹(shù)種植在道路兩側(cè)，每側(cè)種植9棵，要求每側(cè)的柏樹(shù)數(shù)量相等且不相鄰，且道路起點(diǎn)和終點(diǎn)處兩側(cè)種植的都必須是松樹(shù)。問(wèn)有多少種不同的種植方法?( )

A. 36 B. 50

C. 100 D. 400

【答案】C

【解析】排列組合問(wèn)題。題目當(dāng)中要求“每側(cè)的柏樹(shù)數(shù)量相等且不相鄰”，滿足插空法適用題型。兩側(cè)數(shù)量相同即一側(cè)柏樹(shù)3棵，松樹(shù)6棵，分步進(jìn)行，先安排一側(cè)再安排另一側(cè)，采用插空法。優(yōu)先安排6棵松樹(shù)，因?yàn)橥耆�相同，所以有一種方法，再將3棵柏樹(shù)插入空中，因?yàn)樗蓸?shù)要在兩端，所以共5個(gè)空，則方法數(shù)有種，兩側(cè)都安排分步共10×10=100種方法。

因此，選擇C選項(xiàng)。

【例題2】某興趣組有男女生各5名，他們都準(zhǔn)備了表演節(jié)目�，F(xiàn)在需要選出4名學(xué)生各自表演1個(gè)節(jié)目，這4人中既要有男生、也要有女生，且不能由男生連續(xù)表演節(jié)目。那么，不同的節(jié)目安排有( )種。

A. 3600 B. 3000

C. 2400 D. 1200

【答案】C

【解析】排列組合問(wèn)題。要求4名學(xué)生且既要有男生、也要有女生，則滿足要求的情況有3女1男、2男2女兩種情況，第一種情況男生只有一個(gè)，則直接選出候選者排序即可，有種。第二種情況男生兩個(gè)且不連續(xù)，滿足插空法使用條件，選出候選者先安排女生，即種，分類進(jìn)行，相加共2400種方法。

因此，選擇C選項(xiàng)。

由此可見(jiàn)，求解排列組合題目時(shí)，當(dāng)題干滿足插空法適用題型時(shí)，可以應(yīng)用該方法，能夠達(dá)到事半功倍的效果。使用插空法的同時(shí)注意考慮，題干當(dāng)中到底用排列還是組合取決于是否需要考慮順序，例題1中因?yàn)樵�素相同，所以用組合即可，例題2中因?yàn)榘才挪煌�的人表演�?jié)目，需要考慮順序，用排列。

二、隔板法

如果題目表述為一組相同的元素分成數(shù)量不等的若干組，要求每組至少一個(gè)元素，則將隔板插入元素之間，計(jì)算出分類總數(shù)。使用隔板法時(shí)需要注意不可將隔板放在所有元素的兩端，也不可以放在同一個(gè)位置，否則為無(wú)效的隔板。下面小編以兩道題目為例，進(jìn)一步說(shuō)明如何使用隔板法。

1.n個(gè)相同的元素，分配給m個(gè)人，每人至少一個(gè)的方法數(shù)有種。

【例題3】將7個(gè)大小相同的桔子分給4個(gè)小朋友，要求每個(gè)小朋友至少得到1個(gè)桔子，一共有( )種分配方法。

A. 14 B. 18

C. 20 D. 22

【答案】C

【解析】排列組合問(wèn)題。題目為7個(gè)大小相同的桔子，元素相同，分配給4個(gè)小朋友，每人至少一個(gè)，滿足隔板法使用條件，可直接套用第一條結(jié)論，方法數(shù)有種。

因此，選擇C選項(xiàng)。

2.n個(gè)相同的元素，分配給m個(gè)人，每人至少z(z>1)個(gè)的方法數(shù)有種。

【例題4】某領(lǐng)導(dǎo)要把20項(xiàng)任務(wù)分配給三個(gè)下屬，每個(gè)下屬至少分得三項(xiàng)任務(wù)，則共有多少種不同的分配方式( )。

A. 28 B. 36

C. 54 D. 78

【答案】D

【解析】排列組合問(wèn)題。方法一：題目滿足隔板法使用條件，每人至少三項(xiàng)任務(wù)，可先給每人分配兩項(xiàng)任務(wù)，則總?cè)蝿?wù)還剩20-3×2=14項(xiàng)，再按照結(jié)論1套用公式即可，方法數(shù)有種。

因此，選擇D選項(xiàng)。

方法二：直接套用結(jié)論2，方法數(shù)共有種。

因此，選擇D選項(xiàng)。

綜上可以看出，插空法適用于元素要求不相鄰的情況，插入空中的是元素本身，而隔板法是分組時(shí)用的方法，即將n個(gè)相同的元素分成m組時(shí)，在n個(gè)元素之間插入m-1個(gè)隔板的過(guò)程。兩種方法在求解排列組合題目時(shí)技巧性強(qiáng)，希望各位同學(xué)可以勤加練習(xí)!

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