數(shù)量關(guān)系備考之巧用插空法解排列組合及概率問題【國(guó)考】

俗話說“得數(shù)量者得行測(cè)”，數(shù)量關(guān)系在我們行測(cè)的備考中至關(guān)重要。其中排列組合及概率是數(shù)量關(guān)系中一個(gè)比較難啃的硬骨頭，一般考查考生對(duì)基礎(chǔ)排列組合及概率知識(shí)的掌握及其應(yīng)用。

排列組合及概率在近幾年考試中考頻高，考查形式比較靈活。不僅考查排列與組合及概率基本的概念，而且還會(huì)考查一些特殊的方法，比如捆綁法、插空法、隔板法及環(huán)形排列。其中插空法是一種�？嫉母哳l方法，且方法容易掌握，容易得分。下面就插空法題目的特點(diǎn)和特定解題方法給大家進(jìn)行詳細(xì)的介紹。

題型識(shí)別：

在排列組合及概率的題目中，如果題干中出現(xiàn)“不相鄰”、“不相連”、“不在一起”等詞語(yǔ)，則就是考查插空法，其本質(zhì)就是解決排列組合中不相鄰的問題。

解題方法：

插空法的解題思路是“先排后插”。具體做題步驟如下：首先不考慮特殊主體，先排列其他主體;其次再把要求不相鄰的特殊元素插入到其他元素所形成的數(shù)空里面。其中需要注意的是題干中“首位”是否可以插空;若無(wú)特殊說明則不相鄰元素可以插在其他元素的首尾位置，否則首尾不可以插空。

舉一個(gè)簡(jiǎn)單的例子說明一下此題的解題方法：某學(xué)校A、B、C、D、E共5人排隊(duì)做課間操，其中A、B兩人不排在一起，則一共有多少種排隊(duì)方式?

根據(jù)“A、B兩人不排在一起”可知此題考查插空法，故首先先排列其他3人C、D、E，共有排隊(duì)方式，其次排好C、D、E后形成4個(gè)數(shù)空，再?gòu)?個(gè)數(shù)空中選出2個(gè)插入不相鄰的兩人A、B，則可滿足A、B兩人不排在一起，共有(種)排隊(duì)方式,故一共有(種)排隊(duì)方式。(值得注意的是，此題沒有特殊說明，故C、D、E首尾都可以插空，則形成了4個(gè)數(shù)空，若題目說明A、B兩人不能排在首尾，意味著C、D、E首位不能插空，則只能形成2個(gè)元素間數(shù)空。)

最后，以幾道例題來(lái)給大家展示下這類題目的完整做題過程。

【例1】(2015年國(guó)考)把12棵同樣的松樹和6棵同樣的柏樹種植在道路兩側(cè)，每側(cè)種植9棵，要求每側(cè)的柏樹數(shù)量相等且不相鄰，且道路起點(diǎn)和終點(diǎn)處兩側(cè)種植的都必須是松樹。問有多少種不同的種植方法?

A. 36

B. 50

C. 100

D. 400

【答案】C

【分析】分析題干，題目要求“每側(cè)的柏樹數(shù)量相等且不相鄰”即每側(cè)柏樹要不相鄰，解決不相鄰問題我們采用插空法。因?yàn)轭}目要求每側(cè)9棵樹且柏樹數(shù)量相同，也就是說18 棵樹分成道路兩邊進(jìn)行植樹，每側(cè)種植6顆松樹與3顆柏樹。題目還要求柏樹不相鄰，不相鄰采用插空法。先將6顆松樹種植好，因?yàn)樗蓸涫峭瑯拥�，故�?img height="25" src="https://u3.huatu.com/uploads/allimg/210701/image_4.png" width="42" />種方式;再將相鄰的柏樹插入已經(jīng)種植好的松樹中去，6 顆松樹之間形成7個(gè)空，而題目又要求道路起點(diǎn)和終點(diǎn)處兩側(cè)種植的都必須是松樹，即道路兩端不能插入柏樹，故6顆松樹之間形成 5 個(gè)空，有種方式。 同理可得，道路另一側(cè)也有 種方式。故正確答案為=100種方式。

因此，選擇C選項(xiàng)。

【例2】(2021陜西)兩個(gè)大人帶四個(gè)孩子去坐只有六個(gè)位置的圓型旋轉(zhuǎn)木馬，那么兩個(gè)大人不相鄰的概率為：

A.2/5

B.3/5

C.1/3

D.2/3

【答案】B

【分析】分析題干，，滿足情況數(shù)要求兩個(gè)大人不相鄰，解決不相鄰問題我們采用插空法。則先排四個(gè)小孩，四個(gè)小孩環(huán)形排列方法為種，因?yàn)槭黔h(huán)形排列，4個(gè)小孩只能形成4個(gè)空，兩個(gè)大人不相鄰則將兩個(gè)大人插空共有種，總的情況為6人環(huán)形排列，共有種。兩個(gè)大人不相鄰的概率=72/120=3/5。

因此，選擇B選項(xiàng)。

通過以上幾道典型例題的講解，相信大家對(duì)排列組合及概率中，插空法題目的判別以及解題過程都有了一定的了解，希望大家可以掌握插空法題目的特征以及解題方法，在做題時(shí)認(rèn)真仔細(xì)，就能攻克此類題目，希望大家下來(lái)多多練習(xí)，能盡早掌握解題方法!

【思維導(dǎo)圖】

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