2022國(guó)考行測(cè)數(shù)量關(guān)系備考干貨之容斥問(wèn)題

行測(cè)中的容斥問(wèn)題一直以來(lái)都是學(xué)員的痛點(diǎn)，學(xué)員喜歡用公式去解這類題，然而對(duì)于復(fù)雜的容斥問(wèn)題，只用公式是很難解題的。鑒于這種情況，筆者建議廣大學(xué)員靈活運(yùn)用容斥原理，結(jié)合畫圖法能夠輕松解決容斥問(wèn)題。

那么什么是容斥原理呢?很簡(jiǎn)單，多個(gè)集合(一般是兩個(gè)或者三個(gè))在計(jì)數(shù)的時(shí)候，不考慮重復(fù)的情況，先將各個(gè)集合的所有對(duì)象的數(shù)量“包容”進(jìn)來(lái)，然后再把重復(fù)計(jì)數(shù)的數(shù)量“排斥”出去。下面，筆者將通過(guò)畫圖法對(duì)兩種題型進(jìn)行詳細(xì)的講解。

題型一：兩集合容斥問(wèn)題

兩集合容斥問(wèn)題抽象出來(lái)就是“符合A類，符合B類，A、B都符合”結(jié)合畫圖法表示如下：

其中：A類的數(shù)量=圖形1的面積+圖形2的面積(簡(jiǎn)寫成A=1+2)

B類的數(shù)量=圖形2的面積+圖形3的面積(簡(jiǎn)寫成B=2+3)

圖形1的面積=只符合A類的數(shù)量(符合A不符合B的數(shù)量)

圖形2的面積=既符合A類又符合B類的數(shù)量(簡(jiǎn)稱都符合)

圖形3的面積=只符合B類的數(shù)量(符合B不符合A的數(shù)量)

圖形4的面積=既不符合A類又不符合B類的數(shù)量(簡(jiǎn)稱都不，有些題目中沒有都不一項(xiàng))

總體的數(shù)量=A+B-2+4

例1：某單位有60名運(yùn)動(dòng)員參加運(yùn)動(dòng)會(huì)開幕式，他們著裝白色或黑色上衣，黑色或藍(lán)色褲子。其中有12人穿白上衣藍(lán)褲子，有34人穿黑褲子，29人穿黑上衣，那么穿黑上衣黑褲子的有多少人?

A. 12

B. 14

C. 15

D. 29

【答案】C

【解析】：第一步，本題考查容斥問(wèn)題，屬于二集合容斥類

第二步，將穿黑褲子看成符合A類，將穿黑上衣看成符合B類，那么穿白上衣藍(lán)褲子就是都不符合，而問(wèn)題問(wèn)的是都符合，設(shè)數(shù)量為x，運(yùn)用畫圖法如下圖所示即60=34+29-x+12，解得x=15。

因此，選擇C選項(xiàng)。

例2：某公司100名員工對(duì)甲、乙兩名經(jīng)理進(jìn)行滿意度評(píng)議，對(duì)甲滿意度的人數(shù)占全體參加評(píng)議的3/5，對(duì)乙滿意的人數(shù)比甲的人數(shù)多6人，對(duì)甲乙都不滿意的占對(duì)甲乙都滿意人數(shù)的1/3多2人，則對(duì)甲乙都滿意的人數(shù)是多少?

A. 36人

B. 26人

C. 48人

D. 42人

【答案】D

【解析】：第一步，本題考查容斥問(wèn)題，屬于二集合容斥類。

第二步，將對(duì)甲滿意看成符合A類，將對(duì)乙滿意看成符合B類，而問(wèn)題問(wèn)的是都符合設(shè)其數(shù)量為x，對(duì)甲乙都不滿意的數(shù)量為x/3+2。

第三部，運(yùn)用畫圖法如下圖所示，即100=60+66-x+ x/3+2，解得x=42。

因此，選擇D選項(xiàng)。

題型二：三集合容斥問(wèn)題

三集合容斥問(wèn)題抽象出來(lái)就是“符合A類，符合B類，符合C類，都符合”結(jié)合畫圖法表示如下：

其中A類的數(shù)量=圖形1 +圖形4 +圖形5積+圖形6的總面積(簡(jiǎn)寫成A=1+4+5+6)

B=2+4+5+7，C=3+4+6+7

圖形1的面積=只符合A類的數(shù)量

圖形2的面積=只符合B類的數(shù)量

圖形3的面積=只符合C類的數(shù)量

圖形4的面積=三類都符合的數(shù)量

圖形8的面積=三類都不符合的數(shù)量(有些題目中沒有都不一項(xiàng))

考點(diǎn)1：4+5=既符合A又符合B的數(shù)量

4+6=既符合A又符合C的數(shù)量

4+7=既符合B又符合C的數(shù)量

考點(diǎn)2：5+6+7=符合兩種類型的數(shù)量(即只符合兩種類型的總數(shù)量)

總體的數(shù)量=A+B+C-(4+5)-(4+6)-(4+7)+4+8(考點(diǎn)1)

總體的數(shù)量=A+B+C-(5+6+7)-圖形4面積的兩倍+8(考點(diǎn)2)

例3：對(duì)39種食物中是否含有甲、乙、丙三種維生素進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果如下：含甲的有17種，含乙的有18種，含丙的有15種，含甲、乙的有7種，含甲、丙的有6種，含乙、丙的有9種，三種維生素都不含的有7種，則三種維生素都含的有多少種?

A. 4

B. 6

C. 7

D. 9

【答案】A

【解析】：第一步，本題考查容斥問(wèn)題，屬于三集合容斥類。

第二步，這道題屬于三集合容斥問(wèn)題考點(diǎn)1，把含有甲維生素看成符合A類，含有乙維生素看成符合B類，含有丙維生素看成符合C類，而問(wèn)題問(wèn)的是三類都符合的數(shù)量設(shè)為x。

第三步，運(yùn)用畫圖法如下圖所示，即39=17+18+15-7-6-9+x+7，解得x=4。

因此，選擇A選項(xiàng)。

小結(jié)：此題屬于考點(diǎn)1，畫圖標(biāo)數(shù)的時(shí)候要注意符合A與B類，符合A與C類，符合B與C類區(qū)域，在圖中分別用箭頭把三個(gè)區(qū)域的不同數(shù)量標(biāo)示出來(lái)，比如此題中的“含甲、乙的有7種，含甲、丙的有6種，含乙、丙的有9種”。

例4：某鄉(xiāng)鎮(zhèn)舉行運(yùn)動(dòng)會(huì)，共有長(zhǎng)跑、跳遠(yuǎn)和短跑三個(gè)項(xiàng)目。參加長(zhǎng)跑的有49人，參加跳遠(yuǎn)的有36人，參加短跑的有28人，只參加其中兩個(gè)項(xiàng)目的有13人，參加全部項(xiàng)目的有9人。那么參加該次運(yùn)動(dòng)會(huì)的總?cè)藬?shù)為多少?

A. 75

B. 82

C. 88

D. 95

【答案】B

【解析】：第一步，本題考查容斥問(wèn)題，屬于三集合容斥類。

第二步，這道題屬于三集合容斥問(wèn)題考點(diǎn)2，把長(zhǎng)跑看成符合A類，跳遠(yuǎn)看成符合B類，短跑看成符合C類，而問(wèn)題問(wèn)的是總體的數(shù)量設(shè)為x。

第三步，運(yùn)用畫圖法如下圖所示即x=49+36+28-13-2×9，解得x=82。

因此，選擇B選項(xiàng)。

小結(jié)：此題屬于考點(diǎn)2，畫圖標(biāo)數(shù)的時(shí)候要注意只符合兩種類型的區(qū)域，在圖中總共有3個(gè)小區(qū)域，在這里可以標(biāo)上符合△，表示△區(qū)域總面積為只符合兩種類型的總數(shù)量，比如此題中的“只參加其中兩個(gè)項(xiàng)目的有13人”。同時(shí)，這道題并沒有給出都不符合的條件，故不需要畫出最外邊的方框。

例5：對(duì)某單位的100名員工進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果發(fā)現(xiàn)他們喜歡看球賽和電影、戲劇。其中58人喜歡看球賽，38人喜歡看戲劇，52人喜歡看電影，既喜歡看球賽又喜歡看戲劇的有18人，既喜歡看電影又喜歡看戲劇的有16人，三種都喜歡看的有12人，則只喜歡看電影的有多少人?

A. 22

B. 28

C. 30

D. 36

【答案】A

【解析】：第一步，本題考查容斥問(wèn)題，屬于三集合容斥類。

第二步，這道題屬于三集合容斥問(wèn)題的考點(diǎn)1，但是在此基礎(chǔ)上加大了一點(diǎn)兒難度。把看球賽看成符合A，看戲劇看成符合B，看電影看成符合C，題目中沒有給出都不喜歡這個(gè)條件，所以本題畫圖時(shí)不用畫方框，并且缺少既符合B又符合C這個(gè)條件，所以常規(guī)解法受阻。

第三步，由于問(wèn)題求的是只喜歡看電影的人數(shù)，即是求下圖a中陰影部分面積，設(shè)其為x，運(yùn)用畫圖法如下圖b所示。圖a中除開陰影部分，剩下部分面積即為求兩集合容斥問(wèn)題的數(shù)量，那么總面積=陰影部分面積+剩下部分面積。即100=x+(58+38-18)，解得x=22。

因此，選擇A選項(xiàng)。

總結(jié)：這五道題充分利用了畫圖法的特性—直觀性，使得解題過(guò)程極其簡(jiǎn)單，而且容易想到。所以筆者建議學(xué)員用畫圖法去解充斥問(wèn)題，就再也不用糾結(jié)公式中字母的數(shù)學(xué)含義，能在做題的過(guò)程當(dāng)中達(dá)到事半功倍的效果。

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