2022國考行測數(shù)量關(guān)系之容斥問題

近些年來，在國省考的行測考試當(dāng)中，數(shù)量關(guān)系中關(guān)于容斥問題的考察屢見不鮮。相比一些行程問題或者排列組合問題，常見的容斥問題其考察的難度并不算大，所以我們應(yīng)當(dāng)盡可能地在這個模塊的考察中拿到相應(yīng)的分值，放棄非常的可惜!總結(jié)下來，容斥問題的常用解題方法主要分為圖解法和公式法，這兩個方法都可以讓大家在短時間內(nèi)解決掉典型的容斥問題，我們可以根據(jù)自己的習(xí)慣選擇相應(yīng)的解決方法。

圖解法的運用主要是通過韋恩圖來表達(dá)容斥問題當(dāng)中集合之間的相對關(guān)系，優(yōu)勢就是比較直觀跟形象，利于分析，但是缺點就是可能需要花費一定的時間去作圖，并且對于作圖能力也有一定的要求。相比于圖解法，公式法的運用實際上還要更直接一些，其實圖解就是對公式的一個理解，換句話說，公式就是對圖形的一個具象表達(dá)。所以如果公式法用得好，我們大部分的容斥問題都能夠迎刃而解，我在這里主要給大家介紹一下公式法在容斥問題當(dāng)中的運用。

容斥問題中的核心公式其實總結(jié)總結(jié)下來就3個，兩集合一個、三集合兩個。首先兩集合公式我們可以表達(dá)為：總數(shù)-都不=A+B-AB,在遇到容斥問題時，如果發(fā)現(xiàn)這是兩個相互獨立的事件的關(guān)系，那么我們就可以把這個公式拿出來，把題干所給的數(shù)據(jù)跟公式里面的量一一對應(yīng)地代入進(jìn)去，不知道的量就假設(shè)成未知數(shù)，得到等量關(guān)系就可以解出該未知量了，基本上該未知量都是問題的重要依據(jù)。舉個例子:在自然數(shù)1-1000中，既不能被2整除又不能被3整除的自然數(shù)有幾個?對于這個問題，我們可以分別將能被2整除與能被3整除的數(shù)據(jù)當(dāng)成相互獨立的兩個集合A與B，那么問題讓我們求的既不能被2整除又不能被3整除的量就相當(dāng)于是都不的部分，我們可以直接用兩集合公式解決。首先求出A的數(shù)量，1-1000中有500個數(shù)能被2整除，A=500;其次1-1000中有333個數(shù)能被3整除，B=333;最后1-1000中既能被2整除又能被3整除的數(shù)也就是能被6整除的個數(shù)有166個。然后代入公式得到：1000-都不=500+333-166，所以都不=333，也就是有333個數(shù)既不能被2整除又不能被3整除。兩集合的容斥公式在這種情景下得到了很好的運用，解起題來非常方便。

接下來就是三集合的2個公式，一個是標(biāo)準(zhǔn)型公式：，一個是非標(biāo)準(zhǔn)型公式：總數(shù)-都不=A+B+C-滿足其中兩種的個數(shù)-2滿足三種的個數(shù)。我們在做三集合的容斥問題時，只需要判斷題型是屬于標(biāo)準(zhǔn)型公式還是非標(biāo)準(zhǔn)型公式，直接選取相應(yīng)的公式代入即可。其實標(biāo)準(zhǔn)型公式跟非標(biāo)準(zhǔn)型公式的特征非常的鮮明，只要題目當(dāng)中提到既、又、同時等這樣的字眼時，就應(yīng)該先用標(biāo)準(zhǔn)型公式去解決，舉個例子： 班級里面有35個同學(xué)，18其中有個人會打羽毛球，22個人會打乒乓球，23個人會打排球，其中有13個同學(xué)既會打羽毛球又會打乒乓球，有14個人既會打羽毛球又會打排球，有17個人既會打乒乓球又會打排球，班上還有3個同學(xué)什么運動都不會，問有幾個同學(xué)三種運動都會?這道題提到了既、又這樣的字眼，所以是一道三集合標(biāo)準(zhǔn)型公式運用的題，假設(shè)有X個同學(xué)三種運動都會，直接代入公式得到：35-3=18+22+23-13-14-17+X，解得X=13，說明有13個同學(xué)三種運動都會。如果把這道題的敘述方式改為：班級里面有35個同學(xué)，18其中有個人會打羽毛球，22個人會打乒乓球，23個人會打排球，其中有13個同學(xué)這三種運動都會，還有3個同學(xué)這三種運動都不會，請問只會其中兩種運動的有幾個同學(xué)?這道題現(xiàn)在的特征變成了三種、兩種這樣的敘述，這就是三集合非標(biāo)準(zhǔn)型公式的特點，假設(shè)有X個人只會其中兩種運動，我們可以直接運用非標(biāo)準(zhǔn)型公式代入得到：35-3=18+22+23-X-213，解得X=5，說明有5個同學(xué)只會其中兩種運動。從舉的這兩個例子可以看出，公式法在容斥問題當(dāng)中的運用是非常方便的，但是一定要弄懂公式之間的區(qū)別。

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