國家公務(wù)員行測(cè):幾何特性之等比例放縮

幾何問題是國聯(lián)考中的�？碱}型，有時(shí)一套試題中甚至?xí)��?~4道。其中，應(yīng)用等比例放縮解題是幾何特性的常見考法，今天來詳細(xì)了解一下等比例放縮。

2017~2021年國考幾何問題考查頻率

一、知識(shí)概覽

等比例放縮，也叫尺度擴(kuò)大理論，是相似圖形中求邊長、周長、面積或體積的常見方法。一個(gè)幾何圖形，若其尺度變?yōu)樵瓉淼膍倍，則：所有對(duì)應(yīng)角度不發(fā)生變化;所有對(duì)應(yīng)長度變?yōu)樵瓉淼膍倍;所有對(duì)應(yīng)面積變?yōu)樵瓉淼膍²倍;所有對(duì)應(yīng)體積變?yōu)樵瓉淼膍³倍。

例如：一個(gè)正三角形和一個(gè)正六邊形周長相等，則正六邊形面積為正三角形的( )倍。

【點(diǎn)撥】正三角形和正六邊形周長相等，故邊長之比為2∶1。將正六邊形分割成如圖所示的6個(gè)小正三角形，大正三角形與小正三角形的邊長比為2∶1，根據(jù)等比例放縮(若其尺度變?yōu)樵瓉淼膍倍，對(duì)應(yīng)面積變?yōu)樵瓉淼膍²倍)，面積比為4∶1。

第三步，正六邊形與正三角形的面積比為(6×1)÷4=1.5，即正六邊形面積為正三角形的1.5倍。

二、例題精析

【例1】(2021國考)

在一塊下圖所示的梯形土地中種植某種產(chǎn)量為1.2千克/平方米的作物。已知該梯形的高為100米，ABC、BCD和CDE為正三角形，且BAF和DEG的角度都是90度，問該土地的總產(chǎn)量為多少噸?

【答案】B

【解析】

第一步，本題考查幾何問題，屬于平面幾何類。

第二步，由于中間三個(gè)三角形都是正三角形，可知∠ABF=60°，又∠BAF=90°，那么BF=2AB;邊上兩個(gè)直角三角形拼湊在一起是一個(gè)大正三角形且邊長是小正三角形的2倍，根據(jù)等比例放縮(若其尺度變?yōu)樵瓉淼膍倍，對(duì)應(yīng)面積變?yōu)樵瓉淼膍²倍)可知：大正三角形的面積是小正三角形面積的4倍。則整個(gè)圖形是7個(gè)小正三角形的面積。

因此，選擇B選項(xiàng)。

【例2】(2021國考)

一個(gè)人工湖的湖面上有一個(gè)露出水面3米的圓錐體人工景觀(底面朝下)。如人工湖水深減少20%，則該景觀露出水面部分的體積將增加61/64。問原來的人工湖水深為多少米?

A.3.5 B.3.75

C.4.25 D.4.5

【答案】B

【解析】

第一步，本題考查幾何問題，屬于立體幾何。

第二步，水深變化前后的圓錐體相似，前后體積比為1：(1+)=64：125，根據(jù)等比例放縮(若其尺度變?yōu)樵瓉淼膍倍，對(duì)應(yīng)體積變?yōu)樵瓉淼膍³倍)，圓錐前后的高度之比為4：5，原來是3米，則水深減少之后是米。前后水深減少了0.75米是人工湖水深的20%，那么人工湖水深為0.75÷20%=3.75米。

因此，選擇B選項(xiàng)。

無論是平面圖形還是立體圖形，當(dāng)存在等比例放縮或者尺度擴(kuò)大時(shí)，可應(yīng)用等比例放縮的性質(zhì)快速求解。

【小結(jié)】

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