2022國(guó)考行測(cè)備考數(shù)量關(guān)系之賦零法巧解三元一次方程問(wèn)題

各位正在備考的小伙伴們，大家好!今天我們來(lái)學(xué)習(xí)數(shù)量關(guān)系中的三元一次方程特定題型的解題技巧。相信很多小伙伴對(duì)于賦零法解三元一次方程都有所了解，但是又比較疑惑到底什么情況下使用一定是正確的，為什么有時(shí)候賦0法就不適用，今天我們就來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。

首先我們先來(lái)看一個(gè)例題，讓大家了解一下賦零法。

例1.(2009 國(guó)考)甲買(mǎi)了3支簽字筆、7支圓珠筆和1支鉛筆，共花了32元，乙買(mǎi)了4支同樣的簽字筆、10支圓珠筆和1支鉛筆，共花了4 3元。如果同樣的簽字筆、圓珠筆、鉛筆各買(mǎi)一支，共用多少錢(qián)?

A. 21元 B. 11元 C. 10元 D. 17元

解析：設(shè)簽字筆、圓珠筆和鉛筆的單價(jià)分別為x、y、z，可得兩個(gè)方程3x+7y+z=32①、4x+10y+z=43②，求x+y+z的和是多少。兩個(gè)方程三個(gè)未知項(xiàng)是無(wú)法直接確定x、y、z的具體數(shù)值的，提供兩種常見(jiàn)思路。

解法一 ：湊系數(shù)法，因?yàn)槲覀円�求的是x+y+z的整體，所以每一項(xiàng)的系數(shù)都應(yīng)該為1，那么我們優(yōu)先解決系數(shù)最復(fù)雜的一項(xiàng)，通過(guò)觀察后發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)方程系數(shù)最復(fù)雜的項(xiàng)應(yīng)該是x的系數(shù)，系數(shù)分別為7和10，接下來(lái)把7和10的倍數(shù)分別枚舉下來(lái)，分別為7、14、21、28、35和10、20、30、40等，觀察后發(fā)現(xiàn)他們的公倍數(shù)只有21減去20為1，因此我們將①×3減去②就可以將x、y、z的系數(shù)變?yōu)?，因此最后的結(jié)果為32×3-43×2=10元，選擇C選項(xiàng)。

解法二：賦零法，首先我們分析x、y、z里系數(shù)最復(fù)雜的未知項(xiàng)，顯然是x，令x=0，那么兩個(gè)方程就變成了3x+z=32、4x+z=43，兩式相減可以求得x=11，然后代入求得z=-1，所以x+y+z=11+0-1=10，選C選項(xiàng)。

分析兩個(gè)方法后我們發(fā)現(xiàn)，明顯賦零法解題更加方便簡(jiǎn)潔。湊系數(shù)法雖看似方便，但在實(shí)際解題過(guò)程中，在將系數(shù)湊為1時(shí)往往會(huì)遇到困難，并沒(méi)有賦零法解題方便。那么小伙伴就會(huì)想，是不是所有的三元一次方程問(wèn)題都可以這樣求解呢?肯定不是的，接下來(lái)我們看兩個(gè)反例。

例2.(2014 吉林)某學(xué)校組織一次教工接力比賽，共準(zhǔn)備了25件獎(jiǎng)品分發(fā)給獲得一、二、三等獎(jiǎng)的職工，為設(shè)計(jì)獲得各級(jí)獎(jiǎng)勵(lì)的人數(shù)，制定兩種方案：若一等獎(jiǎng)每人發(fā)5件，二等獎(jiǎng)每人發(fā)3件，三等獎(jiǎng)每人發(fā)2件，剛好發(fā)完獎(jiǎng)品;若一等獎(jiǎng)每人發(fā)6件，二等獎(jiǎng)每人發(fā)3件，三等獎(jiǎng)每人發(fā)1件，也剛好發(fā)完獎(jiǎng)品，則獲得二等獎(jiǎng)的教工有多少人?

A.6 B.5 C.4 D.3

解析：設(shè)一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)和三等獎(jiǎng)的教工人數(shù)分別為x、y、z人，可得兩個(gè)方程5x+3y+2z=25①、6x+3y+z=25②。我們發(fā)現(xiàn)此題需要求解的是y的值，那么明顯將x或z賦予不同的值，求解出來(lái)的結(jié)果是不一樣的，因此不能用賦值法。此題的正確解法應(yīng)該是將不定方程組轉(zhuǎn)化為不定方程來(lái)求解。②×2-①=7x+3y=25，通過(guò)代入排除可確定y=6，因此選擇A選項(xiàng)。

此題不能用賦零法的原因在于求解的只是y的值，并不是x+y+z的整體。我們?cè)賮?lái)看一個(gè)例子。

例3. 某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽準(zhǔn)備了22支鉛筆作為獎(jiǎng)品發(fā)給一、二、三等獎(jiǎng)的學(xué)生，原計(jì)劃一等獎(jiǎng)每人發(fā)6支，二等獎(jiǎng)每人3支，三等獎(jiǎng)每人發(fā)2支。后來(lái)又改為一等獎(jiǎng)每人發(fā)9支，二等獎(jiǎng)每人4支，三等獎(jiǎng)每人1支，總共有多少人獲獎(jiǎng)?

A.5 B.6 C.7 D.8

解析：設(shè)一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)和三等獎(jiǎng)的學(xué)生人數(shù)分別為x、y、z人，可得兩個(gè)方程6x+3y+2z=22①、9x+4y+z=22②。通過(guò)觀察后我們求的是整體，我們先用賦零法試一下。因?yàn)閤的系數(shù)最復(fù)雜，因此令x=0，可得5y=22，y=4.4，代入解得z=4.4，此時(shí)x+y+z=8.8不是整數(shù)，但人數(shù)必須要是整數(shù)，很明顯不符合實(shí)際，因此也不能使用�？吹竭@各位小伙伴可能會(huì)想，這也不能用，那也不能用，那學(xué)了干啥咧!各位小伙伴別著急，我們先來(lái)看這道題的正確解法，將②×2- ①=12x+5y=22，賦值代入可得唯一解x=1、y=2，代入得z=5，所以總?cè)藬?shù)=x+y+z=8，因此選擇D選項(xiàng)。

此題雖然求的是整體，但是由于要求x、y、z都必須是整數(shù)，所以也不能用賦零法。

給大家總結(jié)分析一下，在解決三元一次方程時(shí)，什么情況下能使用賦值法。首先要求求的必須是整體(x+y+z的總和)，其次是要求求的量沒(méi)有整數(shù)要求的限制，常見(jiàn)的比如金錢(qián)就不要求必須為整數(shù)，但具體人數(shù)就必須為整數(shù)。簡(jiǎn)單分析一下原理，題目要求我們求解的是x+y+z的總和或者x+y+z的整數(shù)倍，那么x+y+z的結(jié)果必然為定值，它在實(shí)數(shù)的范圍內(nèi)有無(wú)數(shù)組解，你可以嘗試令x為任意值，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)總能找到一組y和z的值，滿(mǎn)足x+y+z等于定值，但是如果限制整數(shù)那就不一定能找到滿(mǎn)足條件的y和z的值。

接下來(lái)再把今天的知識(shí)點(diǎn)梳理為以下思維導(dǎo)圖，方便大家理解。

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