數(shù)量中一元二次方程和均值不等式的應(yīng)用

2021年山西省考數(shù)量關(guān)系題目由往年的10道題增加到了15道題目，題量的增加也顯示出了在公考過程中對(duì)數(shù)學(xué)思維考查的重視程度，結(jié)合近年來進(jìn)面分值要求越來越高，如果考試時(shí)完全放棄數(shù)量關(guān)系題目，就很難拿到一個(gè)高分?jǐn)?shù)，也就無法為成功上岸打下良好的基礎(chǔ)。而數(shù)量關(guān)系之所以難，原因之一是因其題目綜合性強(qiáng)，對(duì)考生邏輯思維能力要求較高，但是數(shù)量雖難，很多題目卻有著比較強(qiáng)的技巧性，而且一些知識(shí)點(diǎn)也在歷年的考試題目當(dāng)中多次出現(xiàn)，所以如果我們可以學(xué)習(xí)并掌握這些題目，就能在短時(shí)間內(nèi)求解出這類題目。其中，最值問題便是省考中與其他類型考點(diǎn)結(jié)合考查頻率較高的一類，例如幾何求最值，經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)問題求最值，都用到了相應(yīng)的最值理論，接下來小編就對(duì)最值問題進(jìn)行論述，希望對(duì)各位同學(xué)有所幫助。

理論知識(shí)

1.一元二次方程求最值的應(yīng)用：，(1)當(dāng)a>0時(shí)，y在處取得最小值;(2)當(dāng)a<0時(shí)，y在處取得最大值。

2.均值不等式理論的應(yīng)用：a+b≥2(a、b均為正整數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立)。

依據(jù)均值不等式，可得對(duì)于一個(gè)矩形而言，(1)周長(zhǎng)C一定時(shí)，面積S取得最大值，;(2)面積S一定時(shí)，周長(zhǎng)C取得最小值，。

解題思路與技巧

觀察題目設(shè)問方式，求最大或最小且涉及上述理論知識(shí)當(dāng)中的哪一個(gè)，確定后套用公式即可。

例題精講

【例1】(2020年聯(lián)考)村民陶某承包一塊長(zhǎng)方形種植地，他將地分割成如圖所示的4個(gè)小長(zhǎng)方形，在A、B、C、D四塊長(zhǎng)方形土地上分別種植西瓜、花生、地瓜、水稻。其中長(zhǎng)方形A、B、C的周長(zhǎng)分別是20米、24米、28米，那么長(zhǎng)方形D的最大面積是：

A.42平方米B.49平方米

C.64平方米D.81平方米

【答案】C

【解析】第一步，本題考查幾何最值問題。

第二步，設(shè)A的長(zhǎng)寬分別為a、b，則a+b=10，B與A長(zhǎng)相同，設(shè)其寬為c，則a+c=12，C與A寬相同，設(shè)其長(zhǎng)為d，則b+d=14，D與B寬相同，與C長(zhǎng)相同，則c+d=(a+c)+(b+d)-(a+b)=12+14-10=16，則D周長(zhǎng)為32。

第三步，由均值不等式可得，當(dāng)周長(zhǎng)一定時(shí)，面積取得最大值。

因此，選擇C選項(xiàng)。

【例2】(2019年深圳)某類商品按質(zhì)量分為8個(gè)檔次，最低檔次商品每件可獲利8元，每提高一個(gè)檔次，則每件商品的利潤(rùn)增加2元。最低檔次商品每天可產(chǎn)出60件，每提高一個(gè)檔次，則日產(chǎn)量減少5件。若只生產(chǎn)其中某一檔次的商品，則每天能獲得的最大利潤(rùn)是()元。

A.620B.630

C.640D.650

【答案】C

【解析】第一步，經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)問題最值優(yōu)化類。

第二步，設(shè)提升了n個(gè)檔次，總利潤(rùn)為y，根據(jù)總利潤(rùn)=每件商品的利潤(rùn)×銷售量，可得，令y=0，解得n1=-4，n2=12，當(dāng)時(shí)，y取得最大值。

第三步，y最大值=(8+2×4)×(60-5×4)=640元。

因此，選擇C選項(xiàng)。

根據(jù)例題2可以看出通常情況如果將y值寫成兩個(gè)數(shù)相乘的形式，這樣不需要再記住對(duì)稱軸公式，相對(duì)更容易求解，節(jié)省時(shí)間。

綜上可以看出，經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)問題最值優(yōu)化類以及幾何問題求最值常常是與函數(shù)問題相結(jié)合，因此，只要大家掌握了函數(shù)求最值的相應(yīng)技巧，這類問題便可迎刃而解!

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