2023國(guó)考數(shù)量關(guān)系備考技巧：教你快速搞定不定方程

不定方程是指未知數(shù)的個(gè)數(shù)多于獨(dú)立方程個(gè)數(shù)的一類方程。一般形式為：ax+by=c，其中，ab≠0,且a，b，c均為正整數(shù)。一般題目中會(huì)規(guī)定關(guān)于x、y的取值條件，從而確定其取值。

不定方程在數(shù)量關(guān)系的考查中一直是很重要的題型之一，國(guó)考及聯(lián)考常有涉及，尤其在國(guó)考中考查的頻率較高。不定方程的考查方式比較固定，規(guī)律性強(qiáng)，在數(shù)量關(guān)系中反而是容易掌握的一種題型。那我們今天來(lái)一起了解不定方程的幾種常見的解題方法：

1.代入排除

在行測(cè)考試中，數(shù)量關(guān)系均為客觀題，每道題目都有對(duì)應(yīng)的四個(gè)選項(xiàng)，在沒(méi)有其它思路的情況下，最快解不定方程的方法就是根據(jù)題意列好方程后，結(jié)合選項(xiàng)依次進(jìn)行代入驗(yàn)證，找到唯一符合題干條件的選項(xiàng)，即為正確答案。具體運(yùn)用如下題：

【例】辦公室工作人員使用紅、藍(lán)兩種顏色的文件袋裝29份相同的文件。每個(gè)紅色文件袋可以裝7份文件，每個(gè)藍(lán)色文件袋可以裝4份文件。要使每個(gè)文件袋都恰好裝滿，需要紅色、藍(lán)色文件袋的數(shù)量分別為多少個(gè)：

A.1、6

B.2、4

C.3、2

D.4、1

【分析】第一步，本題考查不定方程問(wèn)題，用代入排除法解題。

第二步，設(shè)紅、藍(lán)文件袋數(shù)量分別為x、y，由恰好裝滿，可得7x+4y=29�？梢来未�入選項(xiàng)：

A選項(xiàng)，7×1+4×6≠29，排除;

B選項(xiàng)，7×2+4×4≠29，排除;

C選項(xiàng)，7×3+4×2=29，符合題意。

因此，選擇C選項(xiàng)。

2.奇偶性

奇偶性是解不定方程很常見的方法。即結(jié)合式子中已知量的奇偶性來(lái)推導(dǎo)式子中未知數(shù)的奇偶性。但是在用好奇偶性解題之前要熟悉奇偶的性質(zhì)：

(1)偶數(shù)±偶數(shù)=偶數(shù);奇數(shù)±奇數(shù)=偶數(shù);偶數(shù)±奇數(shù)=奇數(shù)

性質(zhì)1：任意兩個(gè)數(shù)性質(zhì)相同(同奇或同偶)，則這兩個(gè)數(shù)兩個(gè)數(shù)的和(差)一定為偶數(shù);任意兩個(gè)數(shù)性質(zhì)相反(一奇一偶)，則這兩個(gè)數(shù)兩個(gè)數(shù)的和(差)一定為奇數(shù)。逆推則

為奇反偶同。

偶數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù);奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù);偶數(shù)×奇數(shù)=偶數(shù)

性質(zhì)2：任意兩個(gè)數(shù)相乘，若可以確定其中一個(gè)數(shù)為偶數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)的乘積一定為偶數(shù)。反之，任意兩個(gè)奇數(shù)相乘，乘積一定為奇數(shù)，即有偶則偶。

結(jié)合以上的奇偶性質(zhì)，在不定方程一般式中的ax，by，c三個(gè)量中，若已知ax和c或者已知by和c的奇偶性，則可推導(dǎo)剩余量的奇偶性，進(jìn)一步確定x或y的取值。具體運(yùn)用如下題：

【例】某兒童藝術(shù)培訓(xùn)中心有5名鋼琴教師和6名拉丁舞教師，培訓(xùn)中心將所有的鋼琴學(xué)員和拉丁舞學(xué)員共76人分別平均地分給各個(gè)老師帶領(lǐng)，剛好能夠分完，且每位老師所帶的學(xué)生數(shù)量都是質(zhì)數(shù)。后來(lái)由于學(xué)生人數(shù)減少，培訓(xùn)中心只保留了4名鋼琴教師和3名拉丁舞教師，但每名教師所帶的學(xué)生數(shù)量不變，那么目前培訓(xùn)中心還剩下學(xué)員多少人?

A.36 B.37

C.39 D.41

【分析】第一步，本題考查不定方程問(wèn)題。

第二步，設(shè)每名鋼琴、拉丁舞老師分別帶領(lǐng)學(xué)員x、y人，由共76人，可列不定方程5x+6y=76。根據(jù)奇偶特性，其中6y、76為偶數(shù)，則5x為偶數(shù)，故x既為偶數(shù)也為質(zhì)數(shù)，2是唯一的偶質(zhì)數(shù)，所以x=2，y=11，即每名鋼琴老師帶2名學(xué)員，每名拉丁舞老師帶11名學(xué)員。

第三步，由所帶學(xué)生數(shù)不變可得，剩余學(xué)員有4×2+3×11=41(人)。

因此，選擇D選項(xiàng)。

3.尾數(shù)法

在不定方程ax+by=c中，當(dāng)未知數(shù)(x,y)前面的系數(shù)以0或者5結(jié)尾時(shí)，可以考慮用尾數(shù)法來(lái)解不定方程。因?yàn)槿魏握�整�?shù)與5的乘積其尾數(shù)只有0或5兩種可能(其中5與偶數(shù)的乘積尾數(shù)為0，5與奇數(shù)的乘積尾數(shù)為5)，任何正整數(shù)與0的乘積其尾數(shù)只能為0。基于這樣的規(guī)律，我們就可以通過(guò)確定的尾數(shù)來(lái)判斷未知數(shù)的取值。尾數(shù)法在解不定方程中使用頻率較低，常常與奇偶性結(jié)合起來(lái)使用。具體運(yùn)用如下題：

【例】超市將99個(gè)蘋果裝進(jìn)兩種包裝盒，大包裝盒每個(gè)裝12個(gè)蘋果，小包裝盒每個(gè)裝5個(gè)蘋果，共用了十多個(gè)盒子剛好裝完。問(wèn)兩種包裝盒相差多少個(gè)?

A.3 B.4

C.7 D.13

【分析】第一步，本題考查基礎(chǔ)應(yīng)用題，用不定方程解題。

第二步，設(shè)大、小包裝盒各有x、y個(gè)，由大盒每個(gè)裝12個(gè)、小盒每個(gè)裝5個(gè)，可知12x+5y=99。根據(jù)奇偶特性，其中12x為偶數(shù)、99為奇數(shù)，故5y為奇數(shù)，可得y為奇數(shù)，所以，其尾數(shù)為5。此時(shí)12x尾數(shù)為9-5=4，可得x=2或x=7。

第三步，代入驗(yàn)證，當(dāng)x=2時(shí)，y=15，符合共十多個(gè)盒子，此時(shí)15-2=13;當(dāng)x=7時(shí)，y=3，不符合共十多個(gè)盒子(剛好十個(gè))。故兩種包裝盒相差13個(gè)。

因此，選擇D選項(xiàng)。

4.倍數(shù)(整除)法

倍數(shù)法是解不定方程較常用的方法。即通過(guò)觀察不定方程ax+by=c中，ax或by與c之間是否有共同的公約數(shù)(或共同被某個(gè)非1的整數(shù)整除)，從而判斷x或y含某個(gè)因數(shù)來(lái)確定取值。例如，ax+by=c中，若ax為5的倍數(shù)且c也為5的倍數(shù)，那么就可確定by也為5的倍數(shù)，當(dāng)b不是5的倍數(shù)時(shí)，則y為5的倍數(shù)，則y的取值可為5，10，15，20……;具體運(yùn)用如下題：

【例】高校的科研經(jīng)費(fèi)按來(lái)源分為縱向科研經(jīng)費(fèi)和橫向科研經(jīng)費(fèi)，某高校機(jī)械學(xué)院2015年前4個(gè)月的縱向科研經(jīng)費(fèi)和橫向科研經(jīng)費(fèi)的數(shù)字從小到大排列為20、26、27、28、31、38、44和50萬(wàn)元。如果前4個(gè)月縱向科研經(jīng)費(fèi)是前3個(gè)月橫向科研經(jīng)費(fèi)的2倍，則該校機(jī)械學(xué)院2015年第4個(gè)月的橫向科研經(jīng)費(fèi)是多少萬(wàn)元?

A.26 B.27

C.28 D.31

【分析】第一步，本題考查不定方程問(wèn)題。

第二步，設(shè)前3個(gè)月橫向科研經(jīng)費(fèi)為x，第4個(gè)月橫向科研經(jīng)費(fèi)為y，則前4個(gè)月縱向科研經(jīng)費(fèi)為2x。根據(jù)題意可得，x+y+2x=20+26+27+28+31+38+44+50，化簡(jiǎn)為3x+y=264。由于3x與264皆為3的倍數(shù)，故y必為3的倍數(shù)，結(jié)合選項(xiàng)，只有27符合。

因此，選擇B選項(xiàng)。

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