在計數問題中有一類題型，讓你求第N期的數目。這類題目一方面所給選項數據較大，可見答案是個較大的數，另一方面你會發(fā)現要想求第N期的數目，就得順向從第1期，第2期一直推進到第N期，而沒法直接思考第N期的情況。這種情況下，我們往往要考慮歸納法了。
歸納法簡單說就是找規(guī)律，根據前N-1期呈現的規(guī)律，運用到第N期上從而得出答案。而規(guī)律基本有兩種，一種是遞推規(guī)律，即前N-1期經過運算得到第N期的數值，另一種是數列規(guī)律，這N期的數值符合某種數列規(guī)律。
下面我們通過幾道題目來學習下歸納法的應用。
1. 十階樓梯，小張每次只能走一階或者兩階，請問走完此樓梯共有多少種方法？
A.55 B.67 C.74 D.89
這道題要求的是走十階樓梯，我們不可能一上來就研究十階怎么走，畢竟答案的數據很大（有選項得知），所以我們自然的，先從前幾階入手。
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階數 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
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方法數 |
1 |
2 |
3 |
5 |
8 |
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通過前五項數字，我們容易觀察到從第三項開始，每一項都等于前兩項之和。按照這個規(guī)律，我們就能得出答案：
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階數 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
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方法數 |
1 |
2 |
3 |
5 |
8 |
13 |
21 |
34 |
55 |
89 |
所以這道題答案是D選項。
這道題就很符合我們說的歸納法的特征，直接求第N期很復雜，數很大。而這道題我們找到的規(guī)律是遞推規(guī)律，第N期=第N-1期+第N-2期。
我們再來看一道遞推規(guī)律的題目：
2. 用直線切割一個有限平面，后一條直線與此前每條直線都要產生新的交點，第1條直線將平面分成2塊，第2條直線將平面分成4塊，第3條直線將平面分成7塊。按此規(guī)律將平面分為22塊需：
A.7條直線 B.8條直線 C.9條直線 D.6條直線
直線分平面，給出了前3條直線的情況，我們理所當然的應該在這里尋找規(guī)律：
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直線數 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
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平面數 |
2 |
4 |
7 |
11 |
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通過對上表的觀察我們發(fā)現，平面數4與2相差2，恰好是平面數4對應的直線數，后面也是同樣的規(guī)律，于是我們得到：
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直線數 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
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平面數 |
2 |
4 |
7 |
11 |
16 |
22 |
可見，6條直線能把平面分成22塊，答案選D。
最后我們來看一道數列規(guī)律的題目。
3. 100張多米諾骨牌整齊地排成一列，依順序編號為1、2、3……99、100。 第一次拿走所有奇數位置上的骨牌，第二次再從剩余骨牌中拿走所有奇數位置上的骨牌，第三次再從剩余骨牌中拿走所有奇數位置上的骨牌。依此類推，請問最后剩下的一張骨牌的編號是多少？
A.32 B.56C.64 D.88
我們把每次的剩余都列出來，從中尋找規(guī)律。第一次剩余2、4、6、8、10……50,都是2的倍數；第二次剩余4、8、12……48,都是4的倍數；第三次剩余8、16、32……48,都是8的倍數。依此類推：第四次剩余16的倍數；第五次剩余32的倍數；笫六次剩余64的倍數。此時只剩下64,選擇C。
可見，歸納法本身并不復雜，只要找到規(guī)律即可，也不需要去驗證，是種簡單有效的解題方法。
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（編輯：admin）
文章來源：華圖教育
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