2020寧夏省考備考：等差數(shù)列之實心三角形問題

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等差數(shù)求和在公務(wù)員考試當(dāng)中考查的頻率相對較少，但在2019年遼寧省考當(dāng)中都有涉及，不少參加考試的同學(xué)反映即使記住了等差數(shù)列求和的公式，做2019年考的這兩道題也比較費勁。究其原因，是沒選對做題方法。

正所謂會者不難，難者不會，只有使用正確的解題方法才能快速地解題，在考試中如果只會求和公式，而沒有掌握正確的解題方法，只能事倍功半，浪費寶貴的時間。

一、初識理論

等差數(shù)列在數(shù)值比較小的情況下往往并不會用到等差數(shù)列求和的公式，需要通過枚舉法來解題。之所以能使用枚舉法，在于當(dāng)公差為1時，等差數(shù)列的前n項和比較容易計算，同學(xué)們不妨一起來枚舉一下，前10項之和分別為1,3,6,10,15,21,28,36,45,55。這些數(shù)值只需要有個大概的印象，做題時現(xiàn)推即可。

二、理論詳解及應(yīng)用

1、等差數(shù)列之排名問題

【例1】(2014山東)某單位舉辦圍棋聯(lián)賽，所有選手的排名都沒有出現(xiàn)并列名次。小周發(fā)現(xiàn)除自己以外，其他所有人排名數(shù)字之和正好是70。問小周排名第幾?

A. 7B. 8

C. 9D. 10

【思路點撥】選手的排名沒有并列名次，說明排名是一個公差為1的等差數(shù)列，設(shè)總?cè)藬?shù)為n，則這個數(shù)列的前n項和為Sn。根據(jù)題意：Sn-小周名次=70。依次枚舉公差為1的等差數(shù)列的前n項和，發(fā)現(xiàn)當(dāng)n取1~6時，Sn都小于70;當(dāng)n=7時，Sn=78，可以得出小周排名第8;當(dāng)n的取值繼續(xù)變大時，小周排名與總?cè)藬?shù)n矛盾。因此，選擇B選項。

2、等差數(shù)列之實心三角形

【例2】(遼寧2018公檢法)現(xiàn)有60枚1元硬幣，若把它們在平面上緊密排列成正三角形，要使剩下的硬幣盡可能少，則三角形的最大邊長是：

A. 11B. 10

C. 8D. 6

【思路點撥】平面上密集排列成正三角形可知，第一層1枚，第二層2枚，第三層3枚，……第n層n枚，是公差為1的等差數(shù)列。一共60枚，因為數(shù)據(jù)比較少，考慮用枚舉法解題，通過枚舉我們可以知道前n項和的數(shù)值，前10項和為55，再多加一項就超過60了，所以邊長最長應(yīng)該是10。因此，選擇B選項。

3、等差數(shù)列-方陣問題

【例3】(2019省考省部級)園丁將若干同樣大小的花盆在平地上擺放為不同的幾何圖形，發(fā)現(xiàn)如果增加5盆，就能擺成實心正三角形，如果減少4盆，就能擺成每邊多于1個花盆的實心正方形，問將現(xiàn)有的花盆擺成實心矩形，最外層最少有多少盆花?

A. 22B. 24

C. 26D. 28

【思路點撥】本題是一個等差數(shù)列和方陣相結(jié)合的問題，比較難，很多同學(xué)通過代入法求解，那么有沒有其他方法呢?這里就給大家介紹另一種方法。讀題后我們發(fā)現(xiàn)本題解題的關(guān)鍵在于要知道花盆到底有多少個。

根據(jù)題干增加5盆能擺成實心正三角形，說明(花盆數(shù)+5)為一個公差為1的等差數(shù)列前n項和;減少4盆能擺成實心正方形，說明(花盆數(shù)-4)是一個平方數(shù)。由此可以推出，如果能找到一個n使公差為1的等差數(shù)列的前n項和減去9是個大于1的平方數(shù)，那么就可以求出n進而求出花盆數(shù)。當(dāng)然為了讓最外層的花盆盡量的少，我們要讓n的取值盡量的小。

依次枚舉出公差為1的等差數(shù)列的前n項進行驗證，發(fā)現(xiàn)當(dāng)n=9時，前n項和為45，45減去9之后是36為完全平方數(shù)，此時n也是滿足題意的最小的一個數(shù)，因此取n=9。此時花盆數(shù)為45-5=40(盆)，我們就確定了最少有40個花盆。

推導(dǎo)到這，等差數(shù)列相關(guān)的工作就做完了，剩下的工作就是求最外圈最少有多少盆花了。根據(jù)幾何極值理論，當(dāng)圖形的周長相等時，越接近圓，周長越短。故當(dāng)矩形的兩條邊長度最接近時，最外層花盆最少。40盆花可以表示成1×40;2×20;4×10;5×8，邊長分別為5和8時最接近，此時最外層花盆數(shù)最少。這時最外層花盆數(shù)為(8+5-1)×2=22(盆)。因此，本題選擇A選項。

三、技巧小結(jié)

枚舉法屬于省考考試中非常高頻的解題技巧，而枚舉法也會經(jīng)常延伸為枚舉之后找規(guī)律。在近些年省考中最高頻的枚舉規(guī)律之一即是與等差數(shù)列相結(jié)合，這些題目最關(guān)鍵的一步就是通過枚舉法列舉等差數(shù)列前n項和。

希望上述總結(jié)，能為大家提供一些幫助，也希望大家平日能夠掌握原理，多加練習(xí)，在考場中取得好成績!

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