數(shù)量備考干貨-巧用逆向思維于排列組合與概率題中

排列組合與概率問題模塊無論在省考還是國(guó)考中都屬于必考題型，也是考試中的難點(diǎn)，考場(chǎng)上時(shí)間緊迫，分秒必爭(zhēng)，所以解這類題目必須要掌握一些解題技巧，這樣才能達(dá)到事半功倍的效果，如一些經(jīng)典解法：捆綁法、插空法和隔板法。這部分題目如果從正面直接求解較難，則可以考慮逆向思維，逆向思維就是當(dāng)我們做一件事，若從正面考慮問題較復(fù)雜時(shí)，就從事物的反面去思考解決問題的方法。在排列組合問題中如果正面考慮情況數(shù)比較多，那就利用逆向思維解題，滿足條件的情況數(shù)=總的情況數(shù)-反面情況數(shù);在概率問題中，正面的概率=1-反面概率。在這里，華圖教育談?wù)勑袦y(cè)數(shù)量關(guān)系中的一個(gè)小技巧：巧用逆向思維于排列組合與概率題中。下面通過幾個(gè)例子來學(xué)習(xí)一下。

【例1】單位工會(huì)組織拔河比賽，每支參賽隊(duì)都由3名男職工和3名女職工組成。假設(shè)比賽時(shí)要求3名男職工的站位不能全部連在一起，則每支隊(duì)伍有幾種不同的站位方式?( )

A.432 B.504

C.576 D.720

【答案】C。解析：本題問的是“每支隊(duì)伍有幾種不同的站位方式”，屬于排列組合問題，如果從正面情況考慮包括：兩個(gè)男職工在一起，第3個(gè)男職工不在一起;3個(gè)男職工都不連在一起，從正面考慮較復(fù)雜，所以考慮利用逆向思維考慮問題，滿足條件的情況數(shù)=總的情況數(shù)-反面情況數(shù)。3名男職工的站位不能全部連在一起的反面是3個(gè)男職工全連在一起，所有的職工排列總的情況數(shù)共有種;計(jì)算反面情況數(shù)時(shí)需要采用捆綁法，將3個(gè)男員工當(dāng)作一個(gè)整體，再與3個(gè)女員工進(jìn)行排序，此時(shí)相當(dāng)于4個(gè)整體進(jìn)行排列，還需要再考慮男員工內(nèi)部的順序，所以情況數(shù)是，則滿足條件的情況數(shù)=720-144=576種。因此，本題選項(xiàng)為C。

【例2】小王開車上班需經(jīng)過4個(gè)交通路口，假設(shè)經(jīng)過每個(gè)路口遇到紅燈的概率分別為0.1、0.2、0.25、0.4，則他上班經(jīng)過4個(gè)路口至少有一處遇到綠燈的概率是?( )

A. 0.899 B. 0.988

C. 0.989 D. 0.998

【答案】D。解析：本題問的是“經(jīng)過4個(gè)路口至少有一處遇到綠燈的概率”，屬于概率問題，從正面考慮問題包含遇到一處綠燈、兩處綠燈、三處綠燈和四處綠燈，情況數(shù)比較多，不利于解題，所以考慮利用逆向思維。至少遇到一處綠燈的反面就是一處綠燈也沒遇到，即4個(gè)路口遇到的都是紅燈，是“且”的邏輯關(guān)系，采用乘法原理，故反面概率為0.1×0.2×0.25×0.4=0.002，所以正面的概率=1-反面概率=1-0.002=0.998。因此，本題選項(xiàng)為D。

【例3】某公司對(duì)10個(gè)創(chuàng)新項(xiàng)目進(jìn)行評(píng)選，選出最優(yōu)秀的3個(gè)項(xiàng)目投入運(yùn)行。小張隨機(jī)預(yù)測(cè)3個(gè)項(xiàng)目將會(huì)入選。問他至少猜對(duì)1個(gè)入選項(xiàng)目的概率在以下哪個(gè)范圍內(nèi)?( )

A. 不到50% B. 50%~60%

C. 60%~70% D. 超過70%

【答案】D。解析：本題問的是“至少猜對(duì)1個(gè)入選項(xiàng)目的概率在以下哪個(gè)范圍內(nèi)”，屬于概率問題。從正面求解比較復(fù)雜，所以考慮逆向思維，正面的概率=1-反面概率，至少猜對(duì)1個(gè)入選項(xiàng)目的反面為一個(gè)入選項(xiàng)目也沒猜對(duì)，10個(gè)創(chuàng)新項(xiàng)目，選擇3個(gè)投入使用，則未被選中的項(xiàng)目有7個(gè)，則反面為從未被選中的7個(gè)項(xiàng)目中選擇3個(gè)，情況數(shù)為，總的情況數(shù)為從整體10個(gè)項(xiàng)目中選擇3個(gè)，結(jié)果為，則反面的概率為，則至少猜對(duì)1個(gè)入選項(xiàng)目的概率為，超過70%，因此，本題選項(xiàng)為D。

所以，解決排列組合和概率題，尤其是當(dāng)問題中提到“至少一個(gè)”或者從正面思考問題情況較復(fù)雜時(shí)，則可利用逆向思維從反面去思考問題，達(dá)到快速準(zhǔn)確解題的目的。

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