2022國考行測干貨 幾何特性之等比例放縮

幾何問題是國聯(lián)考中的�？碱}型，有時一套試題中甚至?xí)��?~4道。其中，應(yīng)用等比例放縮解題是幾何特性的常見考法，今天來詳細(xì)了解一下等比例放縮。

2017~2021年國考幾何問題考查頻率

一、知識概覽

等比例放縮，也叫尺度擴(kuò)大理論，是相似圖形中求邊長、周長、面積或體積的常見方法。一個幾何圖形，若其尺度變?yōu)樵瓉淼膍倍，則：所有對應(yīng)角度不發(fā)生變化;所有對應(yīng)長度變?yōu)樵瓉淼膍倍;所有對應(yīng)面積變?yōu)樵瓉淼膍²倍;所有對應(yīng)體積變?yōu)樵瓉淼膍³倍。

例如：一個正三角形和一個正六邊形周長相等，則正六邊形面積為正三角形的( )倍。

【點撥】正三角形和正六邊形周長相等，故邊長之比為2∶1。將正六邊形分割成如圖所示的6個小正三角形，大正三角形與小正三角形的邊長比為2∶1，根據(jù)等比例放縮(若其尺度變?yōu)樵瓉淼膍倍，對應(yīng)面積變?yōu)樵瓉淼膍²倍)，面積比為4∶1。

第三步，正六邊形與正三角形的面積比為(6×1)÷4=1.5，即正六邊形面積為正三角形的1.5倍。

二、例題精析

【例1】(2021國考)

在一塊下圖所示的梯形土地中種植某種產(chǎn)量為1.2千克/平方米的作物。已知該梯形的高為100米，ABC、BCD和CDE為正三角形，且BAF和DEG的角度都是90度，問該土地的總產(chǎn)量為多少噸?

【答案】B

【解析】

第一步，本題考查幾何問題，屬于平面幾何類。

第二步，由于中間三個三角形都是正三角形，可知∠ABF=60°，又∠BAF=90°，那么BF=2AB;邊上兩個直角三角形拼湊在一起是一個大正三角形且邊長是小正三角形的2倍，根據(jù)等比例放縮(若其尺度變?yōu)樵瓉淼膍倍，對應(yīng)面積變?yōu)樵瓉淼膍²倍)可知：大正三角形的面積是小正三角形面積的4倍。則整個圖形是7個小正三角形的面積。

因此，選擇B選項。

【例2】(2021國考)

一個人工湖的湖面上有一個露出水面3米的圓錐體人工景觀(底面朝下)。如人工湖水深減少20%，則該景觀露出水面部分的體積將增加61/64。問原來的人工湖水深為多少米?

A.3.5 B.3.75

C.4.25 D.4.5

【答案】B

【解析】

第一步，本題考查幾何問題，屬于立體幾何。

第二步，水深變化前后的圓錐體相似，前后體積比為1：(1+)=64：125，根據(jù)等比例放縮(若其尺度變?yōu)樵瓉淼膍倍，對應(yīng)體積變?yōu)樵瓉淼膍³倍)，圓錐前后的高度之比為4：5，原來是3米，則水深減少之后是米。前后水深減少了0.75米是人工湖水深的20%，那么人工湖水深為0.75÷20%=3.75米。

因此，選擇B選項。

無論是平面圖形還是立體圖形，當(dāng)存在等比例放縮或者尺度擴(kuò)大時，可應(yīng)用等比例放縮的性質(zhì)快速求解。

【小結(jié)】

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