2020重慶市考排列組合題的另一種解題方法

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這篇文章主要來講排列組合的解題法寶之一的插板法，下邊我們一起來看一下什么是插板法。

基本題型

基本題型為：n個(gè)相同元素，不同個(gè)m組，每組至少有一個(gè)元素;則只需在n 個(gè)元素的n-1 個(gè)間隙中放置m-1 塊隔板把它隔成m 份，求共有多少種不同方法?

其解題思路為：將n 個(gè)相同的元素排成一行，n 個(gè)元素之間出現(xiàn)了(n-1 )個(gè)空檔，現(xiàn)在我們用(m-1 )個(gè)“檔板”插入(n-1 )個(gè)空檔中，就把n 個(gè)元素隔成有序的m 份，每個(gè)組依次按組序號(hào)分到對(duì)應(yīng)位置的幾個(gè)元素(可能是1 個(gè)、2 個(gè)、3 個(gè)、4 個(gè)、….)，這樣不同的插入辦法就對(duì)應(yīng)著n 個(gè)相同的元素分到m 組的一種分法，這種借助于這樣的虛擬“檔板”分配元素的方法稱之為插板法。

例題：共有10 完全相同的球分到7 個(gè)班里，每個(gè)班至少要分到一個(gè)球，問有幾種不同分法?

解析：我們可以將10 個(gè)相同的球排成一行，10 個(gè)球之間出現(xiàn)了9 個(gè)空隙，現(xiàn)在我們用6 個(gè)檔板”插入這9個(gè)空隙中，就“把10 個(gè)球隔成有序的7 份，每個(gè)班級(jí)依次按班級(jí)序號(hào)分到對(duì)應(yīng)位置的幾個(gè)球(可能是1 個(gè)、2 個(gè)、3 個(gè)、4 個(gè))，這樣，借助于虛擬“檔板”就可以把10 個(gè)球分到了7 個(gè)班中。

基本題型的變形

(1)變形1：有n 個(gè)相同的元素，要求分到m 組中，問有多少種不同的分法?

解題思路：這種問題是允許有些組中分到的元素為“0”，也就是組中可以為空的。對(duì)于這樣的題，我們就首先將每組都填上1 個(gè)，這樣所要元素總數(shù)就m 個(gè)，問題也就是轉(zhuǎn)變成將(n+m )個(gè)元素分到m 組，并且每組至少分到一個(gè)的問題，也就可以用插板法來解決。

例題：有8 個(gè)相同的球放到三個(gè)不同的盒子里，共有()種不同方法。

解答：題目允許盒子有空，則需要每個(gè)組添加1 個(gè)，則球的總數(shù)為8+3 ×1=11，此題就有C(10 ，2)=45(種)分法了。

(2)變形2：有n 個(gè)相同的元素，要求分到m 組，要求各組中分到的元素至少某個(gè)確定值S(s>1，且每組的s值可以不同)，問有多少種不同的分法?

解題思路：這種問題是要求組中分到的元素不能少某個(gè)確定值s，各組分到的不是至少為一個(gè)了。對(duì)于這樣的題，我們就首先將各組都填滿，即各組就填上對(duì)應(yīng)的確定值s 那么多個(gè)，這樣就滿足了題目中要求的最起碼的條件，之后我們?cè)俜质Ｏ碌那�。這樣這個(gè)問題就轉(zhuǎn)變?yōu)樯厦嫣岬降淖冃?的問題了，也就可以用插板法來解決。

例題：15 個(gè)相同的球放入編號(hào)為1、2、3 的盒子內(nèi)，盒內(nèi)球數(shù)不少于編號(hào)數(shù)，有幾種不同的放法?

解析：編號(hào)1：至少1 個(gè)，符合要求;

編號(hào)2：至少2 個(gè)：需預(yù)先添加1 個(gè)球，則總數(shù)-1 ;

編號(hào)3：至少3 個(gè)，需預(yù)先添加2 個(gè)，才能滿足條件，后面添加一個(gè)，則總數(shù)-2 ;

則球總數(shù)15-1-2=12 個(gè)放進(jìn)3 個(gè)盒子里，所以C(11，2)=55 (種)。

通過上面的例題，我們可以看到在排列組合題其實(shí)是有方法及步驟可循的，只要大家能夠牢記做題步驟即可快速作出答案。望大家能夠熟練掌握，在考場(chǎng)做到快速解題。

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