2020重慶市考數量關系多集合的極值問題

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數學運算一直是大家比較頭痛的問題，尤其是其中相對較難的極值問題(又稱為構造問題)。

一、同色抽取的極值問題。

該類問題一般表述為：有若干種不同顏色的紙牌，彩球等，從中至少抽出幾個，才能保證在抽出的物品中至少有n個顏色是相同的。解題常用通法：先對每種顏色抽取(n-1)個，如果某種顏色的個數不夠(n-1)的，就對這種顏色全取光，然后再將各種顏色的個數加起來，再加1，即為題目所求。

【例1】從一副完整的撲克牌中，至少抽出( )張牌，才能保證至少6張牌的花色相同。

A. 21

B. 22　

C. 23

D. 24

【解析】先對四種常見花色“桃杏梅方”各抽取n-1=5個，總共抽取5×4=20張�？紤]到這是一副完整的撲克牌，再對特殊的花色“大小王”進行抽取，大小王只有2張，不夠n-1的要求，就對其全部取光，總共抽取2張。將以上各種顏色的個數加起來，再加1，即5×4+2+1=23張，即為所求，答案選C。

二、特定排名的極值問題。

該類問題一般表述為：若干個整數量的總和為定值，且各不相同(有時還會強調：各不為0或最大不能超過多少)，求其中某一特定排名的量所對應的最大值或最小值。解題常用通法：將所求量設為n，如果要求n最大的情況，則考慮其它量最小的時候;反之，要求n最小的情況，則考慮其它量盡可能大。

【例2】5人的體重之和是423斤，他們的體重都是整數，并且各不相同，則體重最輕的人，最重可能重( )。　

A. 80斤

B. 82斤　　

C. 84斤

D. 86斤

【解析】體重最輕的人，是第5名，設為n�？紤]其最重的情況，則其他人盡可能輕。第四名的體重大于第五名n，但又要盡可能輕且不等于n，故第四名是n+1。同理，第三名至第一名依次大于排名靠后的人且取盡可能小的值，故依次為n+2，n+3，n+4。

五個人盡可能輕的情況下，總重量為n+n+1+n+2+n+3+n+4=4n+10。

實際總重量423應大于等于盡可能輕的總重量，故4n+10≤423，解得n≤82.6，所以n最大為82斤，答案選B。

三、多集合的極值問題。

該類問題一般表述為：在一個量的總和(即全集)里，包含有多種情況(即多個子集)，求這多種情況同時發(fā)生的量至少為多少。解題常用通法：多種情況交叉發(fā)生的量完全不知道，故無法正面求解，所以將題目轉化為：至多有多少量并不是多種情況同時發(fā)生，也就是只要有一種情況不發(fā)生即可。求出題目中多個情況不發(fā)生的量，相加即可得到只要有一種情況不發(fā)生的最大值，再用總題量相減，即可得所求量。計算通式：總和M，每種情況發(fā)生的量分別為a，b，c，d，則多種情況同時發(fā)生的量至少為M-【(M-a)+(M-b)+(M-c)+(M-d)】

【例3】某社團共有46人，其中35人愛好戲劇，30人愛好體育，38人愛好寫作，40人愛好收藏，這個社團至少有多少人以上四項活動都喜歡?( )　A.5 B.6　C.7 D.8

【解析】每種活動不喜歡的人數分別為46-35=11人，16人，8人，6人。故四種活動都喜歡的反面——“四種活動不都喜歡”——即只要有一種活動不喜歡的人數最多為11+16+8+6=41人，所以四種活動都喜歡的人數最少為46-41=5人，答案選A。

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