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行測知識(shí)點(diǎn)：三集合容斥原理題型剖析

2021-05-26 10:51:50 公務(wù)員考試網(wǎng) 文章來源：山西分院

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　　三集合容斥原理是公務(wù)員行測考試數(shù)量關(guān)系中�？嫉囊粋€(gè)知識(shí)點(diǎn)，透徹地理解該知識(shí)點(diǎn)涉及的公式、計(jì)算方法是很必要的，同時(shí)掌握相應(yīng)的技巧也可以幫助考生在有效的時(shí)間內(nèi)高效準(zhǔn)確地解題，為此山西華圖就以上知識(shí)點(diǎn)的具體內(nèi)容及解題技巧展開一個(gè)細(xì)致的講解，我們先從基礎(chǔ)知識(shí)開始。

　　在三集合容斥原理中，容斥原理的本質(zhì)其實(shí)就是集合，而集合是指將同一屬性的所有元素放在一起，當(dāng)三個(gè)集合有交叉和融合時(shí)就是本節(jié)內(nèi)容所提到的三集容合斥原理的問題，這個(gè)考點(diǎn)涉及的公式一般有三種，雖然公式很長，但是只要理解公式的含義，考試的時(shí)候更多的是機(jī)械代公式就可以了，這也是多省考試中一個(gè)比較穩(wěn)定和主流的考法。常用的3個(gè)公式如下：

　　1.一般公式：滿足一項(xiàng)+滿足兩項(xiàng)+滿足三項(xiàng)=總數(shù)-三項(xiàng)都不

　　2.標(biāo)準(zhǔn)公式：A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=總數(shù)-三項(xiàng)都不

　　3.拓展公式：A+B+C-滿足兩項(xiàng)-滿足三項(xiàng)×2=總數(shù)-三項(xiàng)都不

　　對(duì)于這三個(gè)公式，在考試時(shí)是可以直接套用的，但是若題中所給條件不明晰，不方便直接代公式時(shí)，建議大家可以優(yōu)先考慮用畫圖法理清題目思路，再代公式計(jì)算。

　　如上圖，用一般公式：綠色部分加藍(lán)色部分加紫色部分為滿足一項(xiàng)，黃色標(biāo)②的部分為滿足兩項(xiàng)，紅色標(biāo)③的部分為滿足三項(xiàng)，按照一般公式的計(jì)算方法，有：(綠+藍(lán)+紫)+②+③=總體-三者都不滿足，若題目中給到相應(yīng)數(shù)據(jù)，可直接代入求解。

　　用標(biāo)準(zhǔn)公式：A代表上面的圓圈，B表示左邊的圓圈，C代表右邊的圓圈;A∩B表示黃色的第一個(gè)區(qū)域和③合起來的部分，A∩C表示黃色的第二個(gè)區(qū)域和③合起來的部分，B∩C表示黃色的第三個(gè)區(qū)域和③合起來的部分;A∩B∩C表示③，我們發(fā)現(xiàn)A∩B、A∩C、B∩C中均有A∩B∩C表示的③這個(gè)部分，計(jì)算A+B+C的時(shí)候③被加了3次，同樣在減A∩B、A∩C、B∩C的時(shí)候③也被減去了3次，所以在計(jì)算最后得再加一次③，這樣才能把所有部分都加進(jìn)去，故代入公式有：A+B+C-(黃1+③)-(黃2+③)-(黃3+③)+③=總體-三項(xiàng)都不，同樣，當(dāng)題目中有對(duì)應(yīng)部分?jǐn)?shù)字時(shí)可直接代入計(jì)算。

　　用拓展公式：A+B+C-滿足兩項(xiàng)-滿足三項(xiàng)×2=A+B+C-黃1-黃2-黃3-2×③=總數(shù)-三項(xiàng)都不，因?yàn)锳+B+C時(shí)把③加了3次，在減去黃1、黃2、黃3部分時(shí)并未減③，所以計(jì)算最后再減去兩個(gè)③即可，其實(shí)拓展公式是標(biāo)準(zhǔn)公式的進(jìn)一步計(jì)算，為了方便考生在考場上能根據(jù)題目已知條件直接運(yùn)用所以把公式列出來。

　　以下通過幾個(gè)例子來進(jìn)一步鞏固該知識(shí)點(diǎn)：

　　【例1】某單位舉行籃球、長跑和跳繩比賽，規(guī)定每人最多只能報(bào)兩個(gè)比賽，結(jié)果一共有40人報(bào)名，籃球、長跑和跳繩的報(bào)名人數(shù)分別為23人、15人、25人，且同時(shí)報(bào)籃球、長跑的有7人，同時(shí)報(bào)籃球、跳繩的有8人，那么同時(shí)報(bào)長跑和跳繩的人數(shù)為：

　　A.6 B.7

　　C.8 D.9

　　【答案】C

　　【解析】因?yàn)轭}目規(guī)定每個(gè)人最多只能報(bào)兩個(gè)比賽，所以此題沒有三種都報(bào)的人，我們設(shè)報(bào)籃球的為A，報(bào)長跑的為B，報(bào)跳繩的為C，那么A∩B∩C為0，A∩B=7，A∩C=8，所求為B∩C，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)公式：A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=總體-三項(xiàng)都不，總體為40，代入數(shù)據(jù)有：23+15+25-7-8-B∩C=40-0，得到B∩C=8，故選擇C。

　　【例2】某校組織各科目�？急荣�，且不限制報(bào)考科目數(shù)量，結(jié)果統(tǒng)計(jì)參加�？嫉娜藬�(shù)為46人，其中參加語文模考的有26人，參加數(shù)學(xué)�？嫉娜擞�25人，參加英語�？嫉挠�23人，且已知只參加了兩門�？嫉娜藬�(shù)為24人，問三門模考都參加的有幾人?

　　A.6 B.2

　　C.3 D.4

　　【答案】B

　　【解析】參加語文的用A表示，參加數(shù)學(xué)的用B表示，參加英語的用C表示，只參加兩門�？技礊橥卣构街�“滿足兩項(xiàng)”的，所求為“滿足三項(xiàng)”的，因?yàn)轭}目中統(tǒng)計(jì)的就是參加�？嫉娜�，所以46人中每個(gè)人都是至少參加一項(xiàng)，“都不”=0，根據(jù)拓展公式：A+B+C-滿足兩項(xiàng)-滿足三項(xiàng)×2=總數(shù)-三項(xiàng)都不，代入數(shù)據(jù)即：26+25+23-24-滿足三項(xiàng)×2=46-0，得滿足三項(xiàng)=2，故選擇B。

　　【例3】某公司獎(jiǎng)勵(lì)員工去公費(fèi)度假，暫定A、B、C三個(gè)景區(qū)，每位員工均可三個(gè)景區(qū)全部報(bào)名，員工可根據(jù)自己實(shí)際情況自行決定。報(bào)名結(jié)束后統(tǒng)計(jì)，共有76人報(bào)名，其中報(bào)名A、B、C景區(qū)的分別有34、23、30人，三個(gè)景區(qū)都報(bào)名了的有3人，求僅報(bào)了一個(gè)景區(qū)的有幾人?

　　A.70 B.68

　　C.69 D.66

　　【答案】B

　　【解析】題目中統(tǒng)計(jì)的是報(bào)名人數(shù)，故此題中“都不”的人數(shù)為0，現(xiàn)知A+B+C=34+23+30=87，“滿足三項(xiàng)”=3，根據(jù)拓展公式：A+B+C-滿足兩項(xiàng)-滿足三項(xiàng)×2=總數(shù)-三項(xiàng)都不，代入數(shù)據(jù)，87-滿足兩項(xiàng)-3×2=76，得“滿足兩項(xiàng)”=5，再根據(jù)一般公式滿足一項(xiàng)+滿足兩項(xiàng)+滿足三項(xiàng)=總數(shù)-三項(xiàng)都不，有：滿足一項(xiàng)+5+3=76，滿足一項(xiàng)=68，故選B。

　　上述三個(gè)例題就是根據(jù)三集合容斥原理三個(gè)公式設(shè)定的，相信各位考生通過以上內(nèi)容的學(xué)習(xí)可以對(duì)“三集合容斥原理”的考察內(nèi)容、形式以及公式的運(yùn)用有一個(gè)清晰的認(rèn)知，最后希望大家可以通過練習(xí)大量習(xí)題來對(duì)本節(jié)所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行鞏固，熟練掌握。