淺談用均值不等式解決行測中的最值問題

數(shù)量關(guān)系中我們會經(jīng)常遇到求最大或者最小值的問題，這類問題部分同學(xué)會感覺無從下手，另一部分同學(xué)會想到結(jié)合二次函數(shù)圖像求最值感到非常麻煩，那么今天給大家介紹均值不等式在行測中如何秒殺最值問題。這里我們首先回顧一下均值不等式原理，即算數(shù)平均數(shù)大于集合平均數(shù)，用公式表示的話就是 。很多同學(xué)應(yīng)該還記得高中時(shí)代我們熟悉的應(yīng)用方法。即當(dāng)a+b是定值的時(shí)候，ab的乘積有最大值，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取最大值;當(dāng)ab是定值的時(shí)候，a+b有最小值，當(dāng)且僅當(dāng)a=b的時(shí)取最小值。只介紹理論知識可能還體會不到它的便捷度，接下來我們結(jié)合例題來進(jìn)行說明。

例1.(2020江蘇)某商品的進(jìn)貨單價(jià)為80元，銷售單價(jià)為100元，每天可售出120件，已知銷售單價(jià)每降低1元，每天可多售出20件。若要實(shí)現(xiàn)該商品的銷售利潤最大化，則銷售單價(jià)應(yīng)降低的金額是：

A.5元

B.6元

C.7元

D.8元

【答案】C

【解析】設(shè)銷售單價(jià)應(yīng)降低X元能實(shí)現(xiàn)該商品的銷售利潤Y元。售價(jià)降低n元，即降了n個(gè)1元，則每件利潤變?yōu)?00-80-n=20-n。每降低1元，售出的數(shù)量增加20，此時(shí)可售出數(shù)量為120+20n。則銷售利潤Y=(20-n) (120+20n)，也就是求Y的最大值，為了求乘積的最大值，需要把和構(gòu)造為定值，因此Y=20(20-n)(6+n)，當(dāng)且僅當(dāng)20-n=6+n的時(shí)候，即n=7時(shí)，Y取最大值。因此，選擇C選項(xiàng)。

例2.建造一個(gè)容積為48立方米，深為3米的長方體無蓋水池，如果池底和池壁的造價(jià)分別為每立方米150元和每立方米120元，那么該水池的最低造價(jià)是多少元?

A.6460

B.7200

C.8160

D.9600

【答案】C

【解析】由于容積為48，深度為3，則水池的底面積=48÷3=16，池底的造價(jià)為150×16=2400。要使水池的造價(jià)盡量低，則使其側(cè)面積盡量小，設(shè)池底長和寬分別為X、Y，側(cè)面積=2×(3X+3Y)=6×(X+Y)，底面積XY=16。因?yàn)閄Y的乘積是定值，則X+Y的和有最喜小值，當(dāng)且僅當(dāng)X=Y=4時(shí)X+Y最小，最小值為4+4=8。側(cè)面積=6×8=48,池壁造價(jià)為120×48=5760,因此該水池最低造價(jià)為2400+5760=8160，選C。

我相信通過以上兩道題大家對均值不等式的理論知識和應(yīng)用已經(jīng)有了一定的了解，那么為了便于大家記憶，可以將其總結(jié)為，“和定時(shí)積最大，積定時(shí)和最小，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取最值。”接下來也可以給大家分享一下思維導(dǎo)圖，大家后期進(jìn)行多練習(xí)，考試中遇到此類題目一定會拿分。

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