利潤極值問題快速破解有訣竅

經(jīng)濟利潤問題中涉及到函數(shù)求極值的題型在省國考行測考察中是小伙伴比較頭疼的一類問題，往往不知道如何快速找出解題的突破口，最終只得望洋興嘆。為了破解這個瓶頸，找到解題的切入點，這里梳理了完備快捷的解題思路，針對不同的類型對癥下藥，使得這類問題有章可循，有法可解。

1.考查題型梳理，快速定位識別

考查一般分為兩種類型，都是涉及到總利潤最大值的求解。關(guān)于總利潤值的數(shù)學表達式跟產(chǎn)品數(shù)量與單件利潤直接相關(guān)，故而總利潤這個變量可以通過這兩類量進行表示。第一種類型，告知銷售某種商品，可以通過降價提高銷售數(shù)量，并不直接提供總利潤的函數(shù)表達式，需要我們建立，最終表示的形式是一元二次函數(shù);而第二種則是，提供總利潤關(guān)于銷售數(shù)量的函數(shù)表達式，這里往往是一元多次函數(shù)(一元三次函數(shù)頻次最高)。

2.量身定做鑰匙，高效精確破解

針對題型一，根據(jù)總利潤=產(chǎn)品數(shù)量×單個利潤，快速建立關(guān)于總利潤的函數(shù)表達式，這里建立的一元二次函數(shù)不建議小伙伴們用配方法找最大值，計算量大耗時耗力，這里考慮拋物線的兩點式進行求解會更便捷�？梢园岩辉�二次函數(shù)化成拋物線兩點式的標準形式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2)，當就是取極值點的位置，a>0時，取最小值，如下圖所示;a<0時，取最大值。

針對題型二，給出總利潤關(guān)于銷售數(shù)量的函數(shù)表達式，這里一般均是一元三次函數(shù)，解決的途徑是進行一次求導(dǎo)，令求導(dǎo)的函數(shù)等于0，解出未知量的值。這時算出的結(jié)果就是取極值的位置，至于是極大值或是極小值，涉及單調(diào)升降，那就需要求二階導(dǎo)，但沒有必要，我們這里求出的值就是我們所要求的結(jié)果。

3.例題精講

【例1】某商品的進貨單價為80元，銷售單價為100元，每天可售出120件，已知銷售單價每降低1元，每天可多售出20件。若要實現(xiàn)該商品的銷售利潤最大化，則銷售單價應(yīng)降低的金額是：

A.5元 B.6元

C.7元 D.8元

【解析】本題涉及經(jīng)濟利潤問題中總利潤最大值的求解，沒有直接給出函數(shù)表達式，需要我們自己建立。先設(shè)銷售單價應(yīng)降低的金額是x元，根據(jù)總利潤=產(chǎn)品數(shù)量×單件利潤，總利潤用y表示，則有y=(100-80-x)(120+20x)，這里化成拋物線兩點式的標準形式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2)=-20(x-20)(x+6)，x1=20，x2=-6，當就是取極值點位置，由于a<0，故而此時最大值，滿足的選項為C。

【例2】某企業(yè)的凈利潤y(單位：10萬元)與產(chǎn)量x(單位：100萬件)之間的關(guān)系為：問該企業(yè)的凈利潤的最大值是多少萬元?

A.5 B.50

C.60 D.70

【解析】很明顯，這里給出了總利潤的一元三次函數(shù)表達式，按照解題流程對其求出一階導(dǎo)，令，解得(舍去)，當x=2時，取極值，故考慮到利潤的單位為10萬元，所以最大利潤值為5×10=50萬元，滿足的選項為B。

通過兩道經(jīng)典例題，我們做個總結(jié)：遇到經(jīng)濟利潤問題中涉及求解利潤最值的問題，首先能夠?qū)W會快速定位匹配題型，根據(jù)不同的類型選用合適的解題流程去求解，建立函數(shù)表達式要準確，求解導(dǎo)數(shù)更要細心，這些基礎(chǔ)工作不能紕漏，環(huán)環(huán)相扣，強化練習，加以時日，解決這部分問題時定能得心應(yīng)手。

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