國省考行測備考之數(shù)量關系易錯點合集（ 二 ）

在之前的《 數(shù)量關系易錯點合集( 一 ) 》一文中，給大家總結過工程問題、經(jīng)濟利潤問題、幾何問題這三個數(shù)量關系模塊中的易錯點。今天我為大家總結了排列組合中平均分組問題和最值問題中一些易錯點，希望能起到拋磚引玉的效果，最終的目的是希望大家在日常做題的時候，能及時總結規(guī)律，最大可能地規(guī)避容易犯的錯，少走彎路，提高解題的正確性。

一、 平均分組問題中， 分辨不清 何時該 除以 對應組數(shù)的全排列

【例 1 】 某班共有 8 名戰(zhàn)士，現(xiàn)在從中挑出 4 人平均分成兩個戰(zhàn)斗小組分別參加射擊和格斗考核，問共有多少種不同的方案?

A. 210 B. 420

C. 630 D. 840

【 答案 】 B 。華圖解析：這是一道排列組合中關于平均分組的問題。根據(jù)題干要求，平均分成兩個戰(zhàn)斗小組的 4 個人，是從 8 人中選出的，所以先進行選人， 8 選 4 ，與順序無關，所以是 。接著從選出的 4 人中，再選出兩人放在射擊小組，是 ，最后從剩余兩人中選兩人加入格斗小組， 很顯然，如果表示出來就是 (不寫也可以，因為只剩下兩人了，只有這唯一的一種選法，壓根不需要選，這兩個人直接就到格斗小組去了) 。以上幾個做法屬于分步，故使用乘法，所以最終不同的方案是 =420(種)。 所以，本題選擇 B 選項。本道題中， 小組各不相同，則無需最后除去之前步驟中的排序的數(shù)量。

【例 2 】 某班共有 8 名戰(zhàn)士，現(xiàn)在從中挑出 4 人平均分成兩個戰(zhàn)斗小組 ， 問共有多少種不同的方案?

A. 210 B. 420

C. 630 D. 840

【 答案 】 A 。華圖解析：本題也屬于排列組合中平均分組的問題，但和例 1 中不同的是，挑出來的 4 人，分成的兩個戰(zhàn)斗小組沒有區(qū)別，既沒有分出 1 組和 2 組，也沒說分出 射擊組和 格斗組 等其他兩個不同的組。這樣一來，我們再按照例 1 中的做法恐怕就有問題了吧。具體我們來分析。首先仍是從 8 人中選 4 人，是 。為了讓大家理解得更清晰和透徹，這里我們假設從 8 人中選出 4 人的其中一次選出的是甲、乙、丙、丁四個人，接著我們從選出的甲、乙、丙、丁中選兩人放在其中一組，是 ，假定這時選出的兩人是甲、乙兩人，那么另外丙、丁兩人自然就分在另外一組了，所以我們寫成 。聰明的你，發(fā)現(xiàn)這里面的問題了沒?我們不妨再假設一次，這次我們假設從甲、乙、丙、丁四個人中先選出的兩個人不是甲、乙兩人，而是丙、丁兩人，那么剩余甲、乙兩人自然就到另外一組去了。由于兩個組，并沒有任何區(qū)別，而我們若還像例 1 中寫成 ，就是默認這兩個組是有區(qū)別的了，所以本題我們再這樣做肯定是有問題的。 是考慮到了兩組的排序的，相當于里面多乘了兩個元素的排序，即 ，故最終方案數(shù)需要在基礎上除掉兩個元素的排序，即 =210(種) 。 因此，本題選擇 A 選項。 本題中兩個戰(zhàn)斗小組沒有任何差別，則需要在之前的步驟中除去 重復 的排序數(shù)量。

二、 最不利構造問題中容易忘記在最不利情況 數(shù)之后 再加一

【例 3 】 從一副完整的撲克牌中至少抽出多少張牌，才能保證至少有 5 張牌的花色相同?

A. 17 B. 18

C. 19 D. 20

【答案】 C 。華圖解析： 我們都知道， 最不利構造類題目的答案 是 “所有不利情況+ 1 ”。 經(jīng)常有考生在求出所有最不利情況后，忘記加最后的 1 ，導致前功盡棄，而通過觀察最不利構造類的題目選項，也不難發(fā)現(xiàn)，往往都至少有兩個選項是相差 1 的，這也是命題老師命題的策略，既然有人會忘記 加 1 ，那就給你這個答案，讓你能選到這個“錯誤”的答案。我們來看看這道題如何去做，通過題目知道， 一副撲克有 4 種花色，要保證抽出的牌中有 5 張牌花色相同， 那最 不利情況 就 是每種花色均抽到 4 張，再加兩張大小王，共 4 × 4 + 2 = 18 (張)。 那么要保證至少有 5 張牌的花色相同 的話 ，還需要在這個最不利的情況上加 1 ，所以就是 18 + 1 = 19 (張)牌。因此，選擇 C 選項 。 ( 若忘記加 1 ，就會錯選 B 選項 )

我們再來 看一道 類似的題：

【例 4 】 某單位五個處室分別有職工 5 、 8 、 18 、 21 和 22 人，現(xiàn)有一項工作要從該單位隨機抽調若干人，問至少要抽調多少人，才能保證抽調的人中一定有兩個處室的人數(shù)和超過 15 人?

A. 34 B. 35

C. 36 D. 37

【答案】 B 。華圖解析： 由“至少”“保證”可知本題為最不利構造問題，答案為最不利情況數(shù)+ 1 。要保證抽調的人中一定有兩個處室的人數(shù)和超過 15 人，最不利情況為 5 個人、 8 個人的處室全部抽調，其余 3 個科室各抽調 7 人。 則依照題目意思，最 不利 的情況是 抽調 5 + 8 + 7 + 7 + 7 = 3 4 (人)。 而抽調 3 4 人是運氣最差的情況， 在此基礎上， 再抽調 1 人，就能同時滿足題目中“至少”和“保證”了，所以最后的答案是 3 4 + 1 = 35( 人 ) ， 因此，選擇 B 選項。

三、 數(shù)列構造問題中，容易忽略每個對象分得的各不相同還是可以相同

【例 5 】 現(xiàn)有 21 本故事書要分給 5 個人閱讀，如果每個人得到的數(shù)量均不相同，那么得到故事 書數(shù)量 最多的人至少可以得到( )本。

A. 5 B. 7

C. 9 D. 11

【答案】 B 。華圖解析： 在總數(shù)一定的條件下，要使得到故事 書數(shù)量 最多的人本數(shù)最少，那么其他人得到的要盡可能多。設得到故事 書數(shù)量 最多的人可以得到 x 本， 題目中強調了， 每個人得到的數(shù)量均不相同，則其 他 4 個 人得到的故事書 的 數(shù)量 分別為 ( x - 1 )、( x - 2 )、( x - 3 )、( x - 4 )本。根據(jù)題意可 列方程為 x +( x - 1 )+( x - 2 )+( x - 3 )+( x - 4 )= 21 ，解得 x = 6.2 本 。 則 最多的人至少可以得到 7 本。因此， 本題 選擇 B 選項。 若將本題當成了 每個人分得的數(shù)量都相同，則會錯選成 A 選項。 在本道題中，很明顯，題目中強調了每個人 得 到的數(shù)量是各不相同的，這樣的情況不太容易被忽略，但是我們如果解答習慣了這樣要求數(shù)量各不相同的題目，便會由于慣性，即使遇到了有些題目中沒有說明各不相同的，也按照這種方法去解答，那樣就錯了，下面的例 6 就是這樣的情況。

【例 6 】 有 100 人參加五項活動，參加人數(shù)最多的活動的人數(shù)不超過參加人數(shù)最少活動人數(shù)的兩倍， 問參加 人數(shù)最少的活動最少有多少人參加?

A.10 B.11

C.12 D.13

E.14 F.15

G.16 H.17

【答案】 C 。華圖解析： 設人數(shù) 最少的 項目有 x 人參加， 因為題目中沒有強調參加五項活動的人數(shù)各不相同，說明是可以相同的，為了使參加人數(shù)最少的有盡可能少的人參加，那么除參加人數(shù)最少的項目，其余四項應該人數(shù)均為 2x 人。所以 五項活動的人數(shù) 一共 為 9x = 100 ，解得 x ≈ 11.1 ，即 參加人數(shù)最少的活動， 最少有 12 人參加。因此，選擇 C 選項。

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