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2023年國家公務(wù)員考試行測數(shù)量關(guān)系:均值不等式巧解利潤最值問題

2022-07-18 10:14:32 公務(wù)員考試網(wǎng) 華圖教育微信公眾號 華圖在線APP下載 文章來源:華圖教育

均值不等式的一種表達(dá)形式如下,

如果a、b均為非負(fù)實(shí)數(shù),那么當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號成立。

由上述表達(dá)式,我們可以得到如下結(jié)論:已知a、b均為正數(shù),若a+b為定值,則當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),ab取得最大值。

示例

已知x>0,y>0,且2x+5y=20,則xy的最大值是多少?

在這道題目中,2x相當(dāng)于a,5y相當(dāng)于b,則a+b=20,是定值,所以當(dāng)且僅當(dāng)a=b,即2x=5y時(shí),2x×5y存在最大值,因?yàn)?x=5y且加和等于20,所以2x=5y=10,求出2x×5y=10xy=100,即xy最大值為10。

【應(yīng)用】

例1

某商場銷售一批名牌襯衫平均每天可售出20件,每件盈利40元。為了擴(kuò)大銷售增加盈利盡快減少庫存,商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施,經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)如果每件襯衫每降價(jià)1元,商場平均每天可多售出2件,每件襯衫降低( )元時(shí),商場每天盈利最多。

A.12 B.15 C.20 D.25

答案選B。接下來通過本題的解析我們梳理此類題目的解題思路:

(1)找等量關(guān)系,列方程。

本題所求為利潤最值問題,結(jié)合條件可以得出等量關(guān)系:總利潤=單件利潤×銷量。分析可得如果售價(jià)下降1元在成本不變的情況下利潤即下降1元,同時(shí)銷量會增加2件,這道題可以設(shè)每件襯衫的售價(jià)下降了x元,商場的總利潤為y元,那么可列出方程y=(40-x)×(20+2x)。

(2)湊配定和,求極值。

y=(40-x)×(20+2x),由前面學(xué)習(xí)的均值不等式的結(jié)論可知,要想求兩部分乘積的最大值,需要這兩部分的加和為定值,而我們會發(fā)現(xiàn)40-x和20+2x的加和并不是常數(shù),所以不為定值,那么就需要未知數(shù)在加和后抵消掉,則可將方程變形為y=2×(40-x)×(10+x),此時(shí)40-x與10+x的和為定值,所以當(dāng)且僅當(dāng)40-x=10+x,即x=15時(shí),y存在最大值,答案為B。

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(編輯:duyujiao)
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