行測備考技巧：剩余定理問題

在公務員考試行測中的數學運算部分，我們常用到整除的思想，但是有些題目我們會發(fā)覺題目中的被除數不滿足能被整除的條件，即有余數，有一類題目稱為剩余問題，常見形式為一個數同時滿足除以a余x，除以b余y,除以c余z,其中a、b、c兩兩互質，求滿足這樣條件的數。對于這類題目我們在沒有學習剩余定理之前往往只能采用枚舉法來解決，而這種方法是比較繁瑣的，在行測考試中時間對大家來說是最重要的，因此掌握此種題型的解題方法對大家在做題準確率以及做題速度上都有很大幫助。下面結合具體的例子給大家做一詳細的講解。

 

剩余問題的解法：

 

1. 特殊情況

 

（1）余同（余數相同）加余

 

【例題1】某校二年級全部共3個班的學生排隊，每排4人，5人或6人，最后一排都只有2人，這個學校二年級有（ ）名學生。

 

A.120 B.122 C.121 D.123

 

【答案】B

 

【解析】方法一：代入排除法（略）

 

方法二：由題意可知該校二年級的學生人數除以4、5、6均余2，余數相同，屬于余同，因此該班學生人數滿足通項公式N=60n+2 ，（n=0,1,2,3……），當n=2時，N=122,選擇B項。

 

注：n前面的系數60是取4、5、6三個除數的最小公倍數。

 

（2）和同（除數和余數的和相同）加和

 

【例題2】某個數除以5余3，除以6余2，除以7余1，求在0至500內滿足這樣的自然數有多少個？

 

A.3 B.2 C.4 D.5

 

【答案】A

 

【解析】此題我們通過觀察會發(fā)現除數與余數的和相加均為8，則該自然數應滿足N=210n+8（n=0,1,2……）因此在0至500以內滿足題干條件的自然數有8,218,428三個數。

 

注：n前面的系數210是取5、6、7三個除數的最小公倍數。

 

（3）差同（除數與余數之差相同）減差

 

【例題3】三位運動員跨臺階，臺階總數在100-150級之間，第一位運動員每次跨3級臺階，最后一步還剩2級臺階。第二位運動員每次跨4級臺階，最后一步還剩3級臺階。第三位運動員每次跨5級臺階，最后一步還剩4級臺階。問：這些臺階總共有多少級？

 

A. 119 B. 121 C. 129 D. 131

 

【答案】A

 

【解析】方法一：代入排除法（略）。

 

方法二：通過觀察我們會發(fā)現除數與余數的差均為1，因此臺階數滿足：N=60n-1（n=1,2,3……），可發(fā)現A項滿足該通項公式。

 

2.一般情況

 

用同余特性解題

 

【例題4】三位數的自然數P滿足：除以3余2，除以7余3，除以11余4，則符合條件的自然數P有多少個？

 

A.5 B. 4 C. 6 D. 7

 

【答案】B

 

【解析】此題不滿足所給的條件不滿足我們前面所講的特殊情況，但是通過觀察我們發(fā)現，P滿足除以3余2，除以7余3兩個條件時，在P的基礎上加上4, 即（P+4）這個數一定是能夠被3整除以及被7整除的，因此（P+4）=21n，所以P=21n-4……①，得到的這個通項公式再與除以11余4進行找通項公式。該自然數P=21n-4=11a+4,等式左邊都是被11除，等式左邊的余數為10n-4,等式右邊的余數為4，我們知道一個數被11除余4，也可以認為這個數被11除余15，或被11除余26等。根據同余特性可知，等式左邊的余數10n-4應與等式右邊的余數4,15,26等數值相等。因為n要取整數，所以取10n-4=26可以得到n=3代入①式得到P=59，所求的59這個數是滿足題干三個條件的最小數，所以，滿足題干三個條件的數 P=231n+59（n=1,2,3……），所以在三位數以內的數有290,521,752,983四個數。選擇B項。

 

【例題5】一個自然數P同時滿足除以3余1，除以4余3，除以7余4，求滿足這樣條件的三位數共有多少個？

 

A.10 B.11 C.12 D.13

 

【答案】B

 

【解析】先取其中兩個條件，除以3余1，除以4余3，即P=4n+3=3a+1，等式兩邊同時除以3，等式左邊的余數為n,等式右邊的余數為1，即 n=1,代入上式可知滿足上述兩個條件的最小的數為7，則同時滿足上述兩條件的數的通項公式為P=12n+7……①，再將①式所得的條件與題干中除以7余 4的條件組合成新的條件。即滿足題干中三個條件的數P=12n+7=7b+4，等式兩邊同時除以未知數較小的系數7，則左邊余數為5n，等式右邊的余數是 4，也可認為余數是25，即5n=25，求解得n=5，代入到①式中，即同時滿足題干中三個條件的最小的自然數P=67，則滿足題干三個條件的數的通項公式為P=84n+67（n=0,1,2,3……）即100≦84n+67≦999可求得1≦n≦11，即符合題意的數共有11-1+1=11個數。

 

在中國剩余問題的解決過程中，遇到一些余數較為特殊的情況下用剩余定理能夠很好的解決，但是對于出現的和不同，差不同，余不同的情況下，可以用同余特性得到很好的解決。主要思路是先找滿足題干中兩個條件的通項公式，將三者條件轉化成二者條件，然后再次利用同余特性加以解決即可。