2017年山西省考備戰(zhàn)之容斥原理圖示標(biāo)數(shù)法

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    容斥原理是在高中時(shí)候所學(xué)到的集合問題，雖然整個(gè)知識(shí)體系不是很宏大，但是解題方法很具有通用性和技巧性。具體來說，就是所有的充斥原理都可以用公式法來做，而所有的容斥原理也都可以用圖示法來做。公式法抽象，但省時(shí)間；圖示法簡單易懂，但可能在某些題目里面用的時(shí)間會(huì)多一些，需要考生在學(xué)習(xí)的時(shí)候具體斟酌使用。本文將著重為大家講述如何用圖示標(biāo)數(shù)法來做有關(guān)容斥原理的題型。

    計(jì)數(shù)時(shí)保證無遺漏，無重復(fù)，這就是容斥原理，其主要工作是排斥掉重復(fù)計(jì)算的部分。如兩集合容斥原理的公式中減去A∩B，是因?yàn)锳B兩個(gè)集合交集被重復(fù)計(jì)算一次。解決容斥原理主要工具是文氏圖。

    文氏圖又稱韋恩圖，是19世紀(jì)中期劍橋大學(xué)教員約翰·韋恩發(fā)明的將邏輯關(guān)系可視化的示意圖。從文氏圖可清晰地看出集合間的邏輯關(guān)系、重復(fù)計(jì)算的次數(shù)，最適合描述3個(gè)集合的情況。因?yàn)槿莩庠�理的兩種題型為兩集合容斥原理與三集合容斥原理。而在近幾年的考試當(dāng)中，三集合容斥原理相對(duì)來說考到的更多，因此我們著重選擇三集合以及多集合容斥原理來講述如何用圖示法來做。

    【例1】　某市對(duì)52種建筑防水卷材產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量抽檢，其中有8種產(chǎn)品的低溫柔度不合格，10種產(chǎn)品的可溶物含量不達(dá)標(biāo)，9種產(chǎn)品的接縫剪切性能不合格，同時(shí)兩項(xiàng)不合格的有7種，有1種產(chǎn)品這三項(xiàng)都不合格。則三項(xiàng)全部合格的建筑防水卷材產(chǎn)品有多少種？

    A.34 B.35

    C.36 D.37

    【解析】畫出文氏圖。低溫柔度、可溶物含量、接縫剪切性能不合格的一共有8+10+9=27種。在上述計(jì)算中，兩項(xiàng)不合格的產(chǎn)品被重復(fù)計(jì)算了一次，三項(xiàng)不合格的產(chǎn)品被重復(fù)計(jì)算了2次。應(yīng)用容斥原理，不合格的產(chǎn)品共有27-1×7-2×1=18種，合格的有52-18=34種。選A選項(xiàng)。

    在一些文氏圖畫法（即集合間邏輯關(guān)系）不確定的題目中，會(huì)問某個(gè)集合至少（或至多）為多少。這類題目通常從問題的對(duì)立面考慮，對(duì)代表集合的圈圖進(jìn)行排列組合。由于問的是某種極端情況，所以我們主要考慮集合間位置關(guān)系的兩種極端情況。

    左圖對(duì)應(yīng)的是3個(gè)集合覆蓋面積最多的情況，右圖是3個(gè)集合覆蓋面最少的情況。

    【例2】某中學(xué)在高考前夕進(jìn)行了四次語文模擬考試，第一次得90分以上的學(xué)生為70%，第二次是75%，第三次是85%，第四次是90%，請(qǐng)問在四次考試中都得90分以上的學(xué)生至少是（）？

    A. 40% B. 30%

    C. 20% D. 10%

    【解析】問四次考試90分以上的學(xué)生至少有多少，相當(dāng)于問至少有一次90分以下的學(xué)生至多有多少。第一次考試有30%的學(xué)生90分以下，第二次考試有25%，第三次考試有15%，第四次有10%。如果剪出4個(gè)紙片，每個(gè)紙片的面積對(duì)應(yīng)單次考試未達(dá)90分的學(xué)生比例，顯然當(dāng)這些紙片互不重疊時(shí)總?cè)藬?shù)最多。即至少有一次考90分一下的學(xué)生最多為30%+25%+15%+10%=80%，四次考試中都得90分以上的學(xué)生至少為20%。選C選項(xiàng)。

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