2022年聯(lián)考行測備考之?dāng)?shù)量關(guān)系中隔板法的使用

排列組合問題，一直是國聯(lián)考中的重難點(diǎn)，很多考生面對排列組合問題往往都抱著“放棄+蒙”的心態(tài)。近些年，國聯(lián)考中的排列組合問題看似越來越難，但是實(shí)則都是圍繞排列組合的基本知識(shí)點(diǎn)和方法技巧展開的。所以，掌握基本的知識(shí)點(diǎn)和技巧方法才是考生們解決排列組合問題的關(guān)鍵。今天就為大家?guī)�來排列組合中的常用技巧方法——隔板法。

1.什么情況下使用隔板法?

隔板法常用于解決相同元素的分配問題，其主要特征為：將n個(gè)相同的元素分成m組，每組保證至少分到一個(gè)，那么分配的方式有種。

解答這類題目要保證：(1)被分配的元素必須是相同的，否則無法使用以上公式。(2)每組至少分配一個(gè)，即不能出現(xiàn)有任何一組分不到的情況。掌握這兩個(gè)特點(diǎn)，才能正確使用隔板法。

2.如何正確理解隔板法?

要想理解隔板法，要首先理解插空法。插空法的使用前提是“某些元素在排列時(shí)要求不相鄰”，方法是先排列其他主體，然后把要求不相鄰的元素插空到已經(jīng)排列好的元素中間。

那么隔板法的理解與之類似。首先，根據(jù)插空法，n個(gè)相同的元素形成(n+1)個(gè)空隙;其次，引入“板”—即分組，假設(shè)將一個(gè)板放在正中間的空隙中，那么這些元素將分成兩組，所以，如果要想分成m組，那么就需要(m-1)個(gè)隔板;然后，還要考慮一點(diǎn)，如果將任意一塊隔板放在被分配元素形成的首或尾兩個(gè)空隙時(shí)，那么就意味著存在有一組分到的元素?cái)?shù)量為0，與隔板法特征中的“每組至少分到一個(gè)”相悖，所以可用的空隙剩下(n+1-2)個(gè)，即(n-1)個(gè);最后，此類題目轉(zhuǎn)化為將(m-1)塊隔板插入(n-1)個(gè)空隙中，且被分配元素相同，即不考慮順序，分配方式一共有種。

3.例題講解

【例1】某城市一條道路上有4個(gè)十字路口，每個(gè)十字路口至少有一個(gè)交通協(xié)管員，現(xiàn)將8個(gè)交通協(xié)管員名額分配到這4個(gè)路口，則每個(gè)路口協(xié)管員名額的分配方案有()。

A.35種

B.70種

C.96種

D.114種

【答案】A

【解析】首先，根據(jù)題干的內(nèi)容，雖然本題要求分配8個(gè)人，但是注意題干中的“名額”，即人雖是不同的，但是名額是相同的，再結(jié)合“每個(gè)路口至少一個(gè)”，即符合“將n個(gè)相同的元素分成m組，每組保證至少分到一個(gè)”，使用隔板法解題。

根據(jù)隔板法公式，本題列式為，即=35種。

因此，選擇A選項(xiàng)。

【例2】將29個(gè)相同的蘋果分給甲、乙、丙、丁四位小朋友，其中甲至少分2個(gè)、乙至少分3個(gè)、丙至少分5個(gè)、丁至少分8個(gè)，則不同的分配方式共有多少種?

A.143

B.286

C.364

D.455

【答案】C

【解析】首先，結(jié)合題干，29個(gè)相同的蘋果分給4個(gè)小朋友，但是要求每個(gè)小朋友分到的蘋果數(shù)量不相等，看似不能使用隔板法。

但是，本題其實(shí)可以轉(zhuǎn)化成隔板法的基本形式，即先給甲分1個(gè)，乙分2個(gè)，丙分4個(gè)，丁分7個(gè)，那么將余下的蘋果數(shù)再分配，就符合“將n個(gè)相同的元素分成m組，每組保證至少分到一個(gè)”的隔板法的基本特征了。所以余下29-1-2-4-7=15個(gè)，列式為===364。

因此，選擇B選項(xiàng)。

4.總結(jié)

綜合以上兩道例題我們可以知道，只要熟記排列組合的方法技巧中的特點(diǎn)和方法，該類問題并不會(huì)成為考生繞開不解的難點(diǎn)。值得注意的是，現(xiàn)在越來越多的題目是結(jié)合基本的方法技巧進(jìn)行變形，綜合考查考生對基本知識(shí)點(diǎn)的掌握和運(yùn)用能力，所以同學(xué)們在備考中要多練習(xí)與基本知識(shí)點(diǎn)類似的題目，多總結(jié)題目變化的種類，撥開云霧看清問題的本質(zhì)，做到熟能生巧，舉一反三，爭取在有限的時(shí)間內(nèi)多拿分。

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