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排列:排列的字母表示是A(m,n),表達(dá)的意思是從n個(gè)元素中取出m個(gè)元素,進(jìn)行全排列(對m個(gè)元素進(jìn)行排序)。
組合:組合的字母表示是C(m,n),表達(dá)的意思是從n個(gè)元素中取m個(gè)元素,不進(jìn)行排列(對m個(gè)元素不進(jìn)行排序)。
一、特殊優(yōu)先法
特殊元素,優(yōu)先處理;特殊位置,優(yōu)先考慮。
例:六人站成一排,求
(1)甲不在排頭,乙不在排尾的排列數(shù);
(2)甲不在排頭,乙不在排尾,且甲乙不相鄰的排法數(shù)。
【分析】
(1)先考慮排頭,排尾,但這兩個(gè)要求相互有影響,因而考慮分類。
第一類:乙在排頭,有A(5,5)種站法;
第二類:乙不在排頭,當(dāng)然他也不能在排尾,有44A(4,4)種站法;
共A(5,5)+44A(4,4)種站法。
(2)第一類:甲在排尾,乙在排頭,有A(4,4)種方法;
第二類:甲在排尾,乙不在排頭,有3P(4,4)種方法;
第三類:乙在排頭,甲不在排頭,有4P(4,4)種方法;
第四類:甲不在排尾,乙不在排頭,有P(3,3) A(4,4)種方法;
共P(4,4)+3A(4,4)+4A(4,4)+A(3,3) A(4,4)=312種。
二、捆綁法與插空法
例1:某人射擊8槍,命中4槍,恰好有三槍連續(xù)命中,有多少種不同的情況?
【分析】連續(xù)命中的三槍與單獨(dú)命中的一槍不能相鄰,因而這是一個(gè)插空問題。另外沒有命中的之間沒有區(qū)別,不必計(jì)數(shù)。四發(fā)空槍之間形成5空中選出2個(gè)排列組合,即A(5,2)。
例2:馬路上有編號為1,2,3,……10 十個(gè)路燈,為節(jié)約用電又看清路面,可以把其中的三只燈關(guān)掉,但不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩只或三只,在兩端的燈也不能關(guān)掉的情況下,求滿足條件的關(guān)燈方法共有多少種?
【分析】即關(guān)掉的燈不能相鄰,也不能在兩端。又因?yàn)闊襞c燈之間沒有區(qū)別,因而問題為在7盞亮著的燈形成的不包含兩端的6個(gè)空中選出3個(gè)空放置熄滅的燈。
共C(3,6)=20種方法。
三、隔板法
例:10個(gè)名額分配到八個(gè)班,每班至少一個(gè)名額,問有多少種不同的分配方法?
【分析】把10個(gè)名額看成十個(gè)元素,把這10個(gè)元素任意分成8份,并且每份至少有一個(gè)類似該種思維,實(shí)際上就是在這十個(gè)元素之間形成的九個(gè)空中,選出七個(gè)位置放置檔板,就可以很形象的達(dá)到目標(biāo)。
四、間接計(jì)數(shù)法
例:三行三列共九個(gè)點(diǎn),以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)可組成多少個(gè)三角形?
【分析】有些問題正面求解有一定困難,可以采用間接法。
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